Cálculo diferencial y sus aplicaciones

En las unidades anteriores se vieron las funciones más comunes, los límites y continuidad de una función y los conceptos derivados de dichos temas.
En la presente unidad se estudiarán los conceptos y reglas de derivación, lo que ayudará en la solución de problemas de optimización de utilidades y su impacto en las funciones de ingreso y costo total, asimismo se verá la aplicación e interpretación de la derivada en el análisis marginal y su definición como la razón o tasa promedio e instantánea de cambio, así como su aplicación en los conceptos de elasticidad de demanda.
Finalmente, estudiarás la diferencial cuyo significado se encuentra implícito dentro de la derivada, así como su importancia para generar resultados que permitan dar una mejor interpretación a los problemas que en las áreas económico-administrativas se pueden presentar.

Conceptos, fórmulas y reglas de derivación

Hasta el momento has comprendido que los eventos cotidianos de una empresa pueden ser representados a través de una función, la cual puede ser evaluada con base en los conceptos de límite y continuidad.
Percepciones que permiten a la empresa confirmar si la rentabilidad de la organización está comprometida, pero no son los únicos asuntos que interesan a una empresa, muchos empresarios se cuestionan constantemente:
¿Cómo puedo conocer la utilidad máxima de la empresa y a la vez el costo mínimo de producción?
Y es aquí donde las reglas de derivación aplicadas a la función en cuestión, permiten obtener las respuestas adecuadas a las preguntas previamente referidas.

La derivada

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Es la representación del cambio infinitesimal de una función a medida que va cambiando el valor de la variable independiente, así, la derivada de una función f(x) se representa como f’(x), que se lee: f prima y se define para cualquier función f(x) de la siguiente manera:
f'(x)=lim Δy
      Δx→0 Δx

En donde:
➊ Δx y Δy: incrementos de las variables x, y, respectivamente.
Δy=f(x2)-f(x1) representa a la razón o tasa promedio de cambio de "y" con respecto a "x" Δx   x2 -x1  en el intervalo (x1, x2), esto es que tanto varía el valor de "y" por cada unidad de cambio en "x".
➌f(x)=limΔ→0 Δy/Δx, se interpreta como la razón o tasa instantánea de cambio de y con respecto a "x", en el punto "x 1".

De manera práctica la notación para la derivada es:
dy
dx

Que se lee: la derivada de "y" con respecto a "x".

Reglas y fórmulas de derivación

Al igual que con los límites existen fórmulas y reglas que permiten calcular las derivadas de funciones algebraicas, para lo cual se presenta a continuación un formulario en el que se deberá tomar en cuenta que:
u, v, w: son funciones cuya variable independiente es x
a, b, c, n: son números constantes
e: 2.71828...
Ln u: es el logaritmo natural de u, en donde u > 0.

Fórmulas y reglas de derivación:

Ejemplo de las derivadas

➊ Sea la f(x) = 4, ¿cuál será su derivada?
Solución: se tiene que para una función constante se utiliza la fórmula 1:
dc=0
dx

En donde para este caso c=4, por lo que sustituyendo se tiene que:
d(x)= 0      ó        f(x)=0
 dx

➋ Determine la derivada de: f(x)=x⁵
Solución: de acuerdo con la regla de derivación 3:
d(cxⁿ)=ncxⁿ⁻¹

Se tiene que para este caso c=1, x=x, n=5, por lo que:
d(1x⁵)=d(x⁵)=5(1)x⁵⁻¹ = 5x⁴
   dx      dx

➌ Sea la función h(x)= 4x⁶+5x⁴-7x³-x+12, determine su derivada. Aplicando la regla de 4 de derivación, se tiene que:
d(u±v±w±···)= du ± dv ± dw ± ···
       dx           dx    dx     dx

En donde: u=4x⁶, v=5x⁴, w=-7x³, y=-x, z=12. Para las cuales se aplican las siguientes reglas:
d(c)=0     d(cx)=c     d(cxⁿ)=ncxⁿ⁻¹
 dx           dx              dx

Por lo que se tiene que la derivada de la función h(x) es:
h'(x)=(6)(4)x⁶⁻¹+(4)(5)x⁴⁻¹(3)(7)x³⁻¹-(1)(1)x¹⁻¹+0
h'(x)=24x⁵+20x³-21x²-1



➎ Determina la función (fx)=⁴√x⁶
Solución: En este caso en particular, lo conveniente es plantear la función
de la siguiente manera:
(fx)=x⁶/₄

Para el cual se aplica la fórmula:
d(cxⁿ)=ncxⁿ⁻¹
  dx

En este caso:
c=1   x=x   n=6/4

Así, se tiene que:
f'(x)=(1)(6)x⁶/₄⁻¹
=6
  4

Regla de la cadena

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Es aplicada cuando se tiene una función dentro de una función elevada a una potencia, sea la siguiente función:
f(x)=(2x²-3x+2)³

La fórmula general de la regla de la cadena dice que:
dy=dy . du
     du   dx
Una manera más fácil de interpretarla es mediante el siguiente enunciado:
Calcular la derivada de la función en el interior del paréntesis y multiplicarla por la derivada del exterior.
Es decir, si se toma en cuenta la función mostrada en el ejemplo, se tiene que: 2x²-3x+2 representa la función en el interior del paréntesis y cuya derivada es: 4x-3

Ahora bien, con respecto a la derivada del exterior, se refiere al exponente fuera del paréntesis que encierra a la función, así, se tomaría como función exterior a: (2x²-3x+2)³

Y considerando a la función dentro del paréntesis como si fuera una sola variable, así se tiene que la derivada del exterior estaría dada de la siguiente manera:
3(2x²-3x+2)³⁻¹= 3(2x²-3x+2)²

Finalmente, siguiendo el enunciado que dice que hay que multiplicar la derivada del interior por la derivada del exterior, se tiene que la derivada de:
f(x)=(2x²-3x+2)³
f'(x)=(4-3x)(3)(2x²-3x+2)²
f'(x)=(12x-9)(2x²-3x+2)²

Como se vio anteriormente, la razón o tasa promedio de cambio se define como:
Δy=f(x2)-f(x1)
Δx      x2-x1

Ejemplo
Determine ¿cuál será la razón promedio de cambio en la oferta cuando el precio varía de p=10 a p=11?
Solución: De acuerdo a la definición de razón o tasa promedio de cambio, se tiene que:
Δy=0(11)-0(10)
Δx       11-10

=[7(11)²]-[7(10)²]
          11-10

=847-700
       1

Δy=147
Δx

Asimismo, la razón o tasa instantánea de cambio se define como:
f'(x)=limΔy
       Δx→⁰Δx

Ejemplo
Tomando en cuenta los datos del problema anterior, determine ¿cuál será la razón de cambio en la oferta con respecto al precio de venta, cuando p=10 (cambio instantáneo)?

Solución
De acuerdo con la definición de razón o tasa cambio instantánea, se tiene que calcular la derivada de la función de oferta:
0(x)=7p²
0(x)=14p

Por lo que cuando el precio de venta es: p = 10, la razón de cambio instantáneo será:
0'(10)=14(10)=140

Es decir que, cuando el precio es de 10, la oferta cambia en 140 unidades cuando el precio cambia una unidad.

Derivadas de orden superior

Hasta ahora se ha calculado la primera derivada de una función, sin embargo, también es posible, siempre que no se llegue a un valor de cero, obtener la segunda, tercera, cuarta, quinta,… y enésima derivada de una función.

La primera derivada se representa o denota como:
dy  ó  f'(x)
dx

La segunda derivada se representa o denota como:
d²y  ó  f''(x)
dx

La tercera derivada se representa o denota como:
d³y  ó  f'''(x)
 dx

Y así sucesivamente hasta llegar a la enésima derivada de una función.

Ejemplo
Determine la tercera derivada de: f(x)=x⁴-2x³-x²+3

Solución
La primera derivada estará dada por:
f'(x)=4x³-6x²-2x

Así, la segunda derivada será:
f''(x)=12x²-12x-2

Ingreso marginal

Describe cómo se ven afectados los ingresos por cada unidad nueva que se produce y se vende, y se determina como la derivada de la función de ingresos, lo que representa una aproximación del ingreso real cuando se vende una unidad más de cierto producto o servicio.

Así, considerando que representa a los ingresos obtenidos al vender "x" número de artículos, el ingreso marginal muestra cuál será el ingreso que se obtiene al vender el artículo x+1, esto es:
I(x+1)-I(x)
Es decir, los ingresos de venta de x número de artículos incrementada en 1, menos los ingresos de la venta de x artículos.
Finalmente, cómo se considera el incremento de unidades de artículos, esto es Δx=1 lo que implica una razón de cambio de los ingresos cuando aumenta la producción en una unidad; es decir:

Δy=I(x+1)-I(x)
Δx

Lo que corresponde a la derivada de la función de ingreso, la cual representa al ingreso marginal.
I'(x)≈I(x+1)-I(x)

Ejemplo de ingreso marginal

Una compañía turística tiene un ingreso mensual en la venta de sus paquetes regionales representado por la siguiente función: I(x)45000x-5.7x²
Pesos cuando produce y vende x unidades por mes.

Hasta el día de hoy, la compañía ofrece 20 paquetes vacacionales, sin embargo, planea aumentar a 21 el número de paquetes que ofrece. ¿Cuál será el ingreso que generará la implementación y venta del paquete vacacional número 21?

Solución

Para calcular el ingreso adicional que genera la implementación y venta del paquete turístico número 21, con la función de ingreso marginal que es la derivada de la función de ingreso, se tiene que:
I(x)45000x-5.7x²   (5.7x*2)=11.4x
I'(x)=45000-11.4x

Y para el caso particular del paquete número 20, se obtiene que:
I'(20)=45000-11.4(20)
=45000-228
=44,772.00 pesos.

Este valor sería una aproximación al ingreso que generaría por incorporar en sus paquetes turísticos regionales el paquete 21.

Si se desea conocer cuál sería el ingreso exacto al incorporar y vender el paquete 21, se tiene que:
I(x+1)-I(x)=45000(x+1)-5.7(x+1)²-(45000-5.7x²)
=45000x+45000-5.7(x²-11.4x-5.7-45000+5.7x²
=45000x+45000-5.7x²-11.4x-5.7-45000+5.7x²
=45000-11.4x-5.7
=44994.3-11.4x

Ya que dentro de esta operación ya está incorporado el paquete 21, en (x+1), entonces se sustituye "x"por 20 en la expresión encontrada:
I(20+1)-I(20)=44994.3-11.4x
I(21)-I(20)=44994.3-11.4(20)
=44766.3 pesos.

Que representaría el ingreso exacto al incorporar y vender el paquete 21 en la lista de paquetes turísticos regionales en la compañía turística.

Costo marginal
Es la derivada de la función de costo: el valor que se obtiene es una aproximación al costo verdadero cuando se produce o genera una unidad más de cierto producto o servicio.

Así, si se requiere saber el costo que implica el producir "x" unidades de un artículo más una unidad, es recomendable recurrir a la derivada del costo y de manera similar al ingreso marginal se tiene que para los costos marginales se cumple:
C'(x)≈C(x+1)-C(x)

Ejemplo

Los costos de producción de "x" tarjetas de felicitación en una imprenta se representan por la siguiente función:
C(x)=2000+12x+0.5x²+0.0005x³

Determina cómo será el costo de producir 200 tarjetas con respecto a la producción de una tarjeta más.

Solución

Primero se determinará la función de costo marginal:
C'(x)=12+x+0.0005x³
De acuerdo a esto, se tiene que el costo aproximado de producir 201 tarjetas de felicitación será de:
C'(200)=12+200+0.0005(200)²
C'(200)=232

Ahora bien, ya que se requiere conocer cómo es el costo aproximado con respecto al real, se tiene que:
C(x+1)-C(x)
=[20000 + 12(x + 1) + 0.5(x + 1)² + 0.0005 (x+1)³]- [20000+12x+0.5x²+0.0005x³]
=[20000+12x+12+0.5(x²+2x+1)+0.0005(x³+3x²+3x+1)]-[20000+12x+0.5x²+0.0005x³]
=20000+12x+12+0.5x²+x+0.5+0.0005x³+0.0015x²+0.0015x+0.0005-20000-12x-0.5x²-0.0005x³
=12.5005+1.0015x+0.0015x²

Sustituyendo ahora el valor de x=200, para obtener el costo de producción de 201 tarjetas de felicitación:

C(200+1)-C(200)=12.5005+1.0015(200)+0.0015(200)²
C(201)-C(200)=12.5005+200.3+60
C(201)-C(200)=272.8005 pesos.

Con lo que se observa que la diferencia entre el costo exacto y el costo marginal es mínima: 0.8005 pesos, así se puede concluir que con el costo marginal también se obtienen resultados confiables al igual que con la fórmula de ingreso marginal.

Costo promedio o medio marginal

Es la derivada de la función de costo promedio: el valor que se obtiene es una medida de la razón de cambio de la función de costo promedio en función del número de unidades o servicios producidos/ vendidos.

Cm'(x)=C(x)
            x

El costo total de producción mensual de x número de taparroscas para envases de agua embotellada está dado por:
C(x)=500000+25x+0.85x² pesos.

Determine cómo será el costo de producir la unidad 1001 de taparroscas si actualmente se producen 1000 tapas por mes.

Solución: Primero se determinará la función de costo promedio:


Cm(x)=C(x)=500000⁻¹+25x+0.85x²
            x        x          x      x

Cm(x)=C(x)=500000+25+0.85x
            x        x

A continuación se obtiene la función de costo promedio marginal, derivando la función de costo promedio:

Cm(x)=500000⁻¹+25x+0.85x²
C'm(x)=(-1)500000⁻¹⁻¹+(1)0.85x⁻¹
C'm(x)=-500000⁻²+0.85
C'm(x)=-500000+0.85
               x²

De acuerdo a esto, se tiene que el costo aproximado de producir 1001 de taparroscas será de:

C'm(1000)=-500000+0.85
                 1000²
C'm(1000)=0.35 pesos por taparrosca.

Utilidad marginal

Es la derivada de la función de utilidad: U'(x) y es una aproximación a la utilidad obtenida de la producción y venta de una unidad más de cierto producto o servicio.

Así, si se requiere saber cuáles son las utilidades que generará el producir "x" unidades de un artículo más una unidad, es recomendable recurrir a la derivada de las utilidades, con lo que se demuestra que: U'(x)≈U(x+1)-U(x)

Ejemplo de utilidad marginal

En una fábrica se determinó que cuando se producen "x" número de artículos, se tenía que:
C(x)=120000+8x+0.33x²
Y que cada artículo vendido generaba ingresos de $10.00.

Determine las utilidades que se generarán si se producen y venden 100 unidades.

Solución

 Primero se determinará la función de utilidad, si se sabe que:
U(x)=I(x)-C(x)

En donde para este caso:
I(x)= 10x
C(x)=120000+8x+0.33x² Miles de pesos.

Se tiene que:
U(x)=10x-[120000+8x+0.33x²]
U(x)=10x-120000-8x-0.33x²
U(x)=2x-120000-0.33x²

Por lo que la utilidad marginal será:
U'(x)=2(1)x¹⁻¹-120000-(2)0.33x²
U'(x)=2-0.66x

De acuerdo a esto, se tiene que las utilidades generadas aproximadamente al producir 100 artículos serán de:
U'(99)=2-0.66(99)
C'(200)=-64.34 miles de pesos.

Lo que significa que se tienen -63.34 miles de pesos de pérdidas en este proceso.

Elasticidad de la demanda y niveles de elasticidad

Definición de Elasticidad

¿Qué es elasticidad? Es una medida de la sensibilidad de una variable, ante el cambio de otra variable. Se define como el cambio proporcional en el valor de una variable, en relación al cambio proporcional de otra variable.

De acuerdo a la función que estamos analizando, se puede medir la elasticidad de la demanda o la elasticidad de la oferta.
Fuente: Definición de Elasticidad (Zonaeconomica.com - Federico Anzil - Mayo Del 2016).

La elasticidad de la demanda, η, es una aproximación del cambio porcentual de la demanda y es originado por un incremento del 1% en el precio y está representada por la siguiente fórmula:
η=(p)(dg)
     q  dp

η= Elasticidad de la demanda
p= Precio
q= Demanda
dg= Cambio de la demanda en función del precio de venta y/o producción.
dp

Y se interpreta de la siguiente manera:
Cuando |η|>1: La disminución porcentual de la demanda es mayor que el incremento porcentual en el precio que la genera, esto es, que la demanda es relativamente sensible a los cambios del precio, por lo que la demanda es elástica con respecto al precio.

Cuando |η|<1: La disminución porcentual de la demanda es menor al incremento porcentual en el precio que lo genera, es decir, que la demanda es poco sensible a los cambios en el precio, por lo tanto es inelástica con respecto al precio. 

Cuando |η|=1: Los cambios porcentuales en la demanda son iguales a los incrementos en el precio y se dice que la demanda es de elasticidad unitaria.


Ejemplo de elasticidad de la demanda

Si la demanda y el precio de ciertos envases de plástico están representados por: q=930-5p

Para  0 ≤ p ≤, determine el punto de elasticidad de la demanda en que es elástica la demanda, en función de los precios de los envases de plástico.

Solución

Se sabe que:
η=(p)(dg)
     q  dp

En donde en este caso en particular:
dq=-5
dp

Así, la elasticidad de la demanda será:
η=     p    (-5)
     930-5p

η=   -5p    
     930-5p

Ahora bien, la demanda de los envases será elástica si:
|   -5p  |>1
|930-5p|

    5p    >1
930-5p

5p>930-5p
10p>930

p>930
    10
p>93

Por lo que la demanda será elástica cuando el precio sea superior a 93.

Cálculo de máximos y mínimos

Generalmente en nuestra vida estamos buscando formas para resolver problemas. Las matemáticas y en particular el cálculo diferencial nos ayudan a encontrar las respuestas que estamos buscando. 
Entre los valores que puede tener una función (y) puede haber uno que sea el más grande y otro que pueda ser más pequeño. A estos valores se le pueden llamar punto máximo y punto mínimo.

Una función es creciente en el intervalo I, si para dos números x1, x2 cualesquiera en I, tales que x1<x2, se tiene que:
f(x1)>f(x2)

Una función es decreciente en el intervalo I, si para dos números x1, x2 cualesquiera en I, tales que x1< x2, se tiene que:
f(x1)<f(x2)

A continuación se muestra gráficamente cómo decrece y crece una función:

Criterio de la primera y segunda derivada

Los criterios de la primera y segunda derivada ayudan a determinar el comportamiento de una función mediante un cálculo exacto y analítico.

Criterio de la primera derivada

➊ Si f'(x)>0 cuando a<x<b, entonces f es una función creciente en a<x<b.
➋ Si f'(x)<0 cuando a<x<b. entonces f es una función decreciente en a<x<b.
➌ Si f'(x)=0 cuando a<x<b, entonces f es una función constante en a<x<b.

Los pasos a seguir para evaluar una función con el criterio de la primera derivada son:
1.- Obtener la derivada de la función.
2.- Determinar los valores críticos, esto es, los valores de x en la derivada de la función cuando:
f'(x)=0
3.- Se marcan los valores críticos en la recta numérica y se escoge un valor cualquiera entre cada intervalo y se sustituye el valor seleccionado en la derivada, con lo que se determinará el signo de la derivada en esos puntos. Esto se realiza en los intervalos antes y después del valor crítico.
4.- De acuerdo a los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada intervalo, se aplica el siguiente criterio:
►Si los signos son (+)(-), se tiene un máximo local.
►Si los signos son (-)(-), se tiene un mínimo local.
►Si los signos son (+)(+) o (-)(-), no hay extremo local.

Ejemplo de la primera derivada

Considerando el criterio de la primera derivada, determine los intervalos en donde la función:             f(x)=2x³ es creciente o decreciente.

Solución
Aplicando el criterio de la primera derivada se tiene lo siguiente: Calculado la primera derivada de la función: f'(x)=6x²-4
Igualando a cero la derivada de la función:
0=6x²-4
4=6x²
4=x²
6

4=x²=√x²
  6

x=±4
     6

x=±2
     3       Valores críticos

Que son las raíces o valores de "x", con lo que se puede observar que los intervalos establecidos para "x" en la derivada serán (valores críticos en la recta numérica):
♦←——|————|————|——→♦
-∞     -2          0          2       ∞
         3                      3

Ahora bien, evaluando la derivada de la función en los intervalos establecidos, esto es: para los valores entre ⅔, ∞ como por ejemplo 1, entonces se tiene que la derivada de la función en ese punto dará:
f'(1)=6(1)²-4
f'(1)=2

Y como f'(1)>0 entonces la función es creciente en (⅔,+∞) para los valores entre (-⅔,-∞) como por ejemplo 1, entonces se tiene que la derivada de la función en ese punto dará:
f'(-1)=6(-1)²-4
f'(-1)=2

Y como f'(1)>0 entonces la función es creciente en (-⅔,-∞)
Para x = 0, se tiene que la derivada de la función en ese punto dará:
f'(0)=6(0)²-4
f'(0)=4

Y como f'(0)<0 entonces la función es decreciente en (-⅔,⅔)
Es decir, que si se aplica el criterio de la primera derivada para determinar si hay extremos locales, se tiene:
♦←———|—————|—————|——→♦
-∞       -2             0            2         ∞
            3                          3
(+)creciente (-)decreciente (+)creciente

Criterio de la segunda derivada

➊ Si f''(x)>0 cuando a<x<b, entonces f es una función cóncava hacia arriba en a<x<b. 
➋ Si f''(x)<0 cuando a<x<b, entonces f es una función cóncava hacia abajo en a<x<b.

Los pasos a seguir para evaluar una función con el criterio de la segunda derivada son:
1.- Obtener la segunda derivada de la función.
2.- Determinar los puntos de inflexión, esto es, los valores de "x" en la segunda derivada de la función cuando f(x)=2x³-12x² es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
3. Se marcan los puntos de inflexión en la recta numérica y se escoge un valor cualquiera entre cada intervalo y se sustituye el valor seleccionado en la segunda derivada, con lo que se determinará el signo de la segunda derivada en esos puntos. Esto se realiza en los intervalos antes y después de los puntos de inflexión.
4.- De acuerdo a los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada intervalo, se aplica el siguiente criterio:
Si  , entonces la función es cóncava hacia arriba en ese intervalo.
Si  , entonces la función es cóncava hacia abajo en ese intervalo.

Ejemplo de la segunda derivada

Considerando el criterio de la segunda derivada, determine los intervalos en donde la función:             f(x)=2x³-12x² es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

Solución

Aplicando el criterio de la segunda derivada, se tiene lo siguiente. Calculado hasta la segunda derivada de la función:
f'(x)=6x²-24x
f'(x)=12x-24
Igualando a cero la segunda derivada de la función:
0=12x-24
24=12x
24=x
12
x=2 que es el punto de inflexión.
Que son las raíces o valores de x, con lo que se puede observar que los intervalos establecidos para x en la derivada serán (puntos de inflexión en la recta numérica):
♦←——|————|————|——→♦
-∞                 2                 +∞

Ahora bien, evaluando la derivada de la función en los intervalos establecidos, esto es:
para los valores entre 2,∞ como por ejemplo 5, entonces se tiene que la segunda derivada de la función en ese punto dará:
f''(5)=12(5)-24
f''(5)=36
Y como f''(5)>0 entonces la función es cóncava hacia arriba en (2,+∞)

para los valores entre -2,-∞ como por ejemplo – 5, entonces se tiene que la derivada de la función en ese punto dará:
f''(-5)=12(-5)-24
f''(-5)=-84

Y como f'(-5)>0 entonces la función es cóncava hacia abajo en (-2,-∞)
Es decir, que si se aplica el criterio de la segunda derivada para determinar la concavidad de la función, se tiene:
♦←——|————|————|——→♦
-∞                 2                 +∞
(-) Cóncava hacia abajo (+) Cóncava hacia arriba
Finalmente se puede resumir que para el uso de los criterios de la primera y segunda derivada, es más práctico llenar la siguiente tabla guía:

Interpretación del concepto de ingreso y costo marginal

Dentro de la práctica profesional en las áreas económico-administrativas, es muy importante la determinación de maximización de la ganancia o la utilidad, así como el minimizar los costos de venta y producción, esto es, en general, optimizar los recursos de la empresa, es decir, maximizar los beneficios y minimizar los costos.

Al maximizar el beneficio en cualquier empresa, se puede lograr lo siguiente:
1.- Maximizar los ingresos, vendiendo el mayor número de productos o servicios con un nivel de costos constante.
2.- Maximizar los ingresos, reduciendo los costos.
3.- Minimizar los costos y mantener sin variación el nivel de ventas de manera que el ingreso no se vea afectado. 

Ahora bien, para determinar el valor máximo en una función se requiere la primera derivada de la función, al igual que se requiere obtener la segunda derivada para determinar el comportamiento de dicha función, esto es, que si se habla de utilidades U(x), ingresos I(x) y costos C(x), entonces se está trabajando con los valores marginales de las funciones, los cuales se muestran representados a continuación.

En esta gráfica se observa que:
La utilidad máxima se obtiene cuando C'(x)=I'(x) bien cuando I''(x)<C''(x)
Se puede observar que los valores marginales de una función son muy útiles, no sólo para conocer los niveles de utilidad, sino para determinar el impacto de las utilidades cuando se presentan variaciones en los insumos.


Ejemplo

Una empresa en servicio de telefonía pretende incrementar sus ventas promocionando sus servicios por televisión, para lo cual realizó varios estudios para determinar los costos que dicha publicidad le generará y obtuvieron las siguientes funciones de costo por publicidad y de demanda de servicios de telefonía:
C(x)=1700+65x-0.0005x² miles de pesos
p(x)=35-  x    miles de pesos
           1000

En donde:
C(x) = costos por servicio de telefonía en función de los costos de publicidad.
p(x) = precio por servicio de telefonía que se presta.
x = número de servicios de telefonía.
Determine la cantidad de servicios que se requiere vender para maximizar la ganancia
Solución: Considerando la función de demanda, se puede obtener la función de ingresos de la empresa, recordando que:
I(x)=xp(x)

Por lo que para este caso en particular los ingresos serán:
I(x)=x(35-   x   )
              1000

I(x)=35-   x²  
            1000
Ahora bien, para obtener la máxima ganancia, se requiere de los valores marginales tanto de los ingresos como de los costos, así para el ingreso marginal se tiene:

I'(x)=35-   x   
            5000
Y para el costo marginal:
C(x)=65-0.001x

Y ya que para maximizar la ganancia se requiere que el ingreso marginal sea igual al costo marginal:
35-   x  =65-0.001x
    5000
Y aplicando los criterios de derivada para obtener los valores máximos, se comienza por despejar el valor de "x" de la ecuación que quedó arriba:
0.001x-   x   =65-35
          5000

0.001x-   x   =30
          5000

x(0.001-  1  )=30
         5000
x(0.0008)=30
x=    30   
    0.0008
x=37500

Comprobando que se obtiene un máximo, se calcula la segunda derivada tanto de los ingresos como de los costos
I''(x)=-   1   =-0.0002
         5000
C''(x)=-0.001
Es decir, se cumple que:
I''(x)<C''(x)

Por lo que se obtiene efectivamente la máxima utilidad.
Por lo tanto, cuando la compañía de servicio en telefonía da 37,500 servicios, la utilidad será maximizada.

La diferencial

Es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Al trabajar con diferenciales, se compara entre los distintos valores que toman las variables dependiente e independientemente, para así observar y medir los cambios que se originen.

Al trabajar con diferenciales se comparan entre los distintos valores que toman las variables dependiente e independiente, para así observar y medir los cambios que se originen.
Es por eso que al considerar los cambios en los valores de las variables, la diferencial llega a tener una relación directa con la derivada como razón o tasa de cambio.

Si se considera que y=f(x), se observa que se verá afectada la variable "y", ya que se encuentra en función de los valores que tome "x".
Así, cuando la variable x cambia desde un valor inicial xinicial, hasta un valor final xfinal, el cambio se determina calculando la diferencia (xfinal-xinicial), lo que se conoce como cambio o incremento de una variable y se representa como:
Δx=xfinal-xinicial

Y que sirve para determinar los cambios ente una y otra variable y, de manera general, para determinar los cambios en una función, ya sea de ingreso, costo, demanda o utilidad, evaluando los valores iniciales y finales en la función correspondiente:
Δf(x)=Δy=f(xfinal)-f(xinicial)
Ejemplo
Una empresa desea determinar en cuánto deberá incrementar su nivel de gastos si aumenta la producción debido al aumento en la demanda de sus artículos, para lo que obtiene la siguiente función:
G(x)=5x²-15000 pesos
En donde actualmente la demanda de artículos es de 95:=xinicial 95
►Determine en cuánto se incrementarán los gastos si la producción aumenta a 100 unidades.
►Determine la razón de cambio que se dará en los gastos al incrementarse la producción en una unidad.

Se sabe que la producción en el inicio es de 95 unidades, por lo que los gastos iniciales serán:
G(95)iniciales=5(95)²-15000
G(95)iniciales=$30125

Es decir, que cuando la empresa tiene una producción de 95 unidades sus gastos son de 30125 pesos. Ahora bien, cuando la producción aumenta a 100 unidades, entonces se tiene que  , por lo que los gastos finales serán de:
G(100)final=5(100)²-15000
G(100)final=35000
Esto es, que aumentan en $4875.00

Para determinar la razón de cambio se tomarán en cuenta los datos anteriores, de lo que se observa que:
xinicial=95   G(95)iniciales=$30125
xfinal=100   G(100)final= $35000



Por lo que:

Δx=xfinal-xinicial
Δx=100-95
Δx=5 unidades.

Por lo tanto:
ΔG(x)=G(xfinal)-G(xinicial)
ΔG(x)=35000-30125
ΔG(x)=4875

Así, para la razón de cambio se tiene que:
ΔG=G(xfinal)-G(xinicial)
Δx           Δx

ΔG=G(100)-G(95)
Δx            5

ΔG=35000-30125=4875
Δx           5            5 

ΔG=975 pesos /unidad
Δx
Con lo que se observa que los gastos de producción por unidad se incrementan en $975.00 por unidad.

Diferencial de una función

Una función f(x) es diferenciable en "x" si se puede obtener la derivada de lo función f(x), en donde lo diferencial se define como:
dy=f'(x)dx=dyΔx
               dx

Diferencial implícita

La diferencial implícita es un proceso, mediante el cual puede obtenerse la diferencial "dy" cuando se tiene una ecuación y no una función, pudiendo existir más de un elemento de la variable "y".

Diferencial logarítmica

Tomando en cuenta las leyes logarítmicas:
Lnaˣ=xlna
Ln(ab)=Ln(a)+Ln(b)
Ln(a)=Ln(a)-Ln(b)
    b

Aplicando las leyes de logaritmos a las funciones es posible aplicar la diferencial logarítmica:
dy=dLnx=1
      dx    x

dy=dLnx=1dx
             x

Así, para obtener la diferencial logarítmica dy de una función es necesario aplicar las leyes de los logaritmos a la función dada.

Ejemplo de diferencial logarítmica

Empleando la diferencial logarítmica determine a partir de la siguiente función:
f(x)=y=x³√x²+2
           (2x+1)³

Solución

Aplicando a la función leyes de logaritmos, se tiene: 
Lny=Ln[x³√x²+2]
           (2x+1)³

Lny=Ln[x³(x²+2)^½]
           (2x+1)³

Lny=Lnx³+Ln(x²+2)^½-Ln(2x+1)³
Lny=3Lnx+1Ln(x²+2)-3Ln(2x+1)
              2
Ahora bien, diferenciando implícitamente se tiene:
dLny=3dLnx+1dLn(x²+2)dx-3dLn(2x+1)dx
  dx             2
Aplicando:
dy=dLnx=1dx
             x
Se tiene la diferencial de cada parte de la función, así para:
3dLnxdx=31dx
              x
Para:
1dLn(x²+2)dx=1(  1  )2xdx=   x   dx
2                  2  x²+2         x²+2
Para:
3dLn(2x+1)dx=3(  1  )2dx=   6   dx
                       2x+1        2x+1
Y finalmente para:
dLny=1dy
  dx   y

Por lo que sustituyendo en la diferencial:
1dy=31dx+  x  dx-  6  dx
y       x    x²+2    2x+1

Factorizando a dx
1dy=[3+   x   -   6   ]
y       x  x²+2  2x+1

Despejando a dy:
dy=[3+   x   -   6   ]ydx
      x   x²+2  2x+1
Como:
y=x³√x²+2
    (2x+1)³
Sustituyendo en dy, sustituyendo en:
dy=[3+  x  -    6    ][x³√x²+2]
      x  x²+2  2x+1     (2x+1)³

Elasticidad

La elasticidad es un indicador de la magnitud que cambiará la variable dependiente si la variable independiente se modifica en una unidad y se representa como:
η=(x)(dy)
     y  dx

Una manera de determinarla es a través de la diferencial con logaritmos y así obtener:

η=dLny  (demanda)
    dLnx    (precio)

Ejemplo de elasticidad

Determine la elasticidad de la demanda si:

[Demanda] Q=c    [Constante positiva]
                p³  [Precio del artículo (variable, ya que la demanda está en función del precio.)]

Solución

➊ Si se aplican logaritmos a la función de demanda:
LnQ=Ln[ c ]
          [p³]

LnQ=Lnc-Lnp³

➋ Diferenciando implícitamente a la demanda en función del precio:
dLnQ=Lnc-3Lnp

➌ Por lo que al aplicar la fórmula de elasticidad en la demanda:
η=dLnQ=dLnc-3dLnp
    dLnp  dLnp  dLnp
Por lo que:
η=-3
Así, la elasticidad de la demanda es de -3, lo que significa que al incrementarse el precio en una unidad monetaria, la demanda de los artículos disminuirá 3 unidades.

Cierre de Unidad

En esta unidad estudiaste el concepto de la derivada, las fórmulas y los métodos de derivación, así como el concepto de la diferencial, el cual te permitirá tener los conocimientos necesarios para comprender el análisis marginal y sus implicaciones en los procesos económicos y administrativos de una empresa.

Recursos de apoyo para el aprendizaje

Se ha seleccionado una serie de recursos en línea con el fin de ofrecerte un panorama general de la unidad y alternativas en caso de que se te dificulte la comprensión de algún concepto o proceso.
Si deseas saber más de estos temas se te sugiere revisar las siguientes ligas:
Cálculo diferencial e integral. 


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