En la unidad anterior se planteó que la estadística es un conjunto de técnicas para describir grupos de datos y para tomar decisiones en ausencia de una información completa la cual se divide en dos ramas:

Estadística descriptiva: comprende la tabulación, representación y descripción de una serie de datos que pueden ser cuantitativos, como la medida de la estatura y el peso, o cualitativas, como el sexo o el nivel socioeconómico.

Estadística inferencial consiste en estimar las propiedades (variables) de una población a partir del conocimiento de sólo una muestra de ella. Está basada en la estadística descriptiva y la teoría de la probabilidad.

Con la estadística descriptiva, aprenderás a cómo organizar, presentar e interpretar datos que se obtienen de las muestras tomadas de las poblaciones. Antes de comenzar con los temas, se verá de dónde y cómo se obtienen los datos que se van a organizar.

Cuando se realiza un trabajo para analizar los detalles de un hecho o fenómeno, las personas implicadas diseñan instrumentos para recolectar la información y obtener los datos que necesitan. De entre los métodos más frecuentes para recolectar información son:

Es una técnica de recolección que se aplica a la totalidad de los elementos que componen la población o universo que se estudia. Un censo debe cumplir dos condiciones:

Universalidad. Esto es, se debe tomar en cuenta a todos los elementos de la población.

Simultaneidad. Debe realizarse dentro de un periodo de tiempo limitado.

Esta técnica se utiliza para recolectar información de una muestra de la población. Consiste en presentar un conjunto de preguntas abiertas (preguntas que no tienen respuestas predeterminadas) o cerradas (preguntas que cuentan con una serie de respuestas establecidas).

1.- Un experimento es una prueba que se realiza para determinar las características o comportamiento de un objeto o sujeto. Por ejemplo, experimentar con el sentido del gusto para conocer qué alimentos nos parecen más salados.

2.- También se define como proceso que se realiza para verificar una serie de hipótesis relacionadas con un determinado fenómeno, en el cual se determinan las características o comportamientos del fenómeno que se analiza. Por ejemplo: un experimento para determinar la velocidad de la luz en el vacío donde se está determinando dicha velocidad.

La diferencia entre la primera y la segunda definición está en que en la última se parte de una hipótesis. En el primer ejemplo, se experimentan los sabores de los alimentos sin antes predecir cuál sabrá más salado. En el segundo ejemplo, la hipótesis, a partir de estudios anteriores, es que la velocidad de la luz en el vacío es de 300 000 km/seg. El experimento verificará si esta hipótesis es cierta o no y en éste cabe un margen de error experimental.

La estadística descriptiva organiza, representa, describe y resume los datos obtenidos de una población o de una muestra de ésta, sin elaborar inferencias ni obtener conclusiones.

Con el propósito de que los datos obtenidos de una muestra o población sean más significativos, es común realizar una distribución de frecuencias y dibujar gráficas de varios tipos para representar dichos datos. De esta forma se pueden tener datos agrupados y no agrupados. Y si se tienen datos agrupados, se tienen que considerar conceptos como frecuencia e intervalo.

Se le denomina así al conjunto de datos obtenidos, que por ser muy pocos, no requieren una agrupación bajo ciertas especificaciones. En este caso, se considera que el número de datos no debe sobrepasar a 30.

¿Qué procedimiento se utiliza para organizar y presentar estos datos? En ocasiones es útil ordenar los valores de los datos en orden creciente o decreciente pero aún esto no resulta una labor sencilla. Recientemente, se ha encontrado una técnica para ordenarlos denominada gráfica de tronco y hoja.

Para ilustrar la técnica gráfica de tronco y hoja, observa las siguientes calificaciones en una prueba de coordinación física aplicada a 20 personas que habían ingerido una cantidad de alcohol equivalente a 0.1% de su peso.

69, 84, 52, 93, 61, 74, 79, 65, 88, 63, 57, 64, 67, 72, 74, 55, 82, 61, 68, 77.

Ahora se separan las cifras de cada número en sus decenas y unidades, disponiendo juntos los valores que comparten las decenas. Esto es, pensaremos en el número 69 como 6|9. Entonces las decenas se dispondrán en forma vertical con unidades dispuestas al lado. Para el conjunto de las 20 calificaciones de coordinación física, la gráfica sería la ubicada al lado de este texto.

5|2 7 5

6|9 1 5 3 4 7 1 8

7|4 9 2 4 7

8|4 8 2

9|3

El primer renglón de la gráfica {5|2 7 5} indica que la lista contiene los valores de 52 (5|2), 57 (5|7) y 55 (5|5). Esta tabla se conoce como una representación gráfica de tronco y hoja porque cada renglón representa una posición de tronco y cada dígito a la derecha de la línea vertical se puede considerar como una hoja.

Para saber más

La revisión del siguiente material te ayudará a visualizar otras formas de utilización de la técnica tronco y hoja, para que puedas aprovecharla al máximo (disponible en Material de apoyo). Escuela de Estadística (2013). Representaciones Tallo-hoja.

http://www.estadistica.ucr.ac.cr/contenido/docs/material/XS- 0111/tallo.pdf

Se denominan datos agrupados, cuando las observaciones de una muestra se agrupan en clases o intervalos de clase. El hecho de agrupar los datos, cuando el número de observaciones es muy grande, permite sintetizar la información para una mejor descripción de la muestra. Para sintetizar la información, en estadística se utilizan las frecuencias para poder condensar los datos y entender mejor su comportamiento como a continuación se describe.

Frecuencia

Frecuencia: es el número de veces que se repite un dato, también se le conoce como frecuencia absoluta.

Ejemplo: si los datos que tenemos son: (do, re, la, do, la, re, do), contamos con siete notas musicales.

N = 7 (N representa el número total de datos).

fi= el número de veces que se repite un elemento.

La suma de las frecuencias absolutas siempre es igual a “N”.

Frecuencia relativa: resultado de dividir la frecuencia entre el número total de datos. Este dato también puede verse como un porcentaje.

Es fácil calcularla, es el resultado de F entre N

La suma de las frecuencias relativas siempre será igual a uno.

Frecuencia acumulada: suma de las frecuencias absolutas de las variables hasta el renglón. También es conocida como frecuencia absoluta acumulada.

Es la suma del inmediato superior y él mismo (observemos la siguiente tabla para dejarlo más claro):

Inmediato superior 3, sumado a 2 (re):

Inmediato superior 5, sumado a 2 (la):

El resultado siempre será a “N”.

Frecuencia relativa acumulada: suma de las frecuencias relativas hasta el renglón.

Ejemplo:

Supongamos que se tiene la siguiente distribución de datos de la edad de personas que aprenden a nadar en una alberca pública en un horario de 16 a 17 horas:

18, 41, 23, 47,18, 23, 23, 41, 41, 47, 47, 52, 23, 47, 23, 47, 18, 47, 7, 23, 18, 47, 52, 41, 52, 18, 23, 52, 7, 18, 52, 23.

En la siguiente tabla puedes ver los datos anteriores organizados en una tabla para que puedas identificar los tipos de frecuencia mencionados (los datos siempre se ordenan de manera creciente).

Número de renglón (i)	Datos obtenidos de la variable	Frecuencia fi	Frecuencia acumulada Fi	Otra forma para obtener Fi	Frecuencia relativa hi	Frecuencia relativa acumulada Hi
1	7	f1=  2	f1=F1= 2	f1 = F1=2	h1=f1/N=0.0625	h1=H1=0.0625
2	18	f2=  6	f1+f2= F2= 8	F1+f2=F2=8	h2=f2/N=0.1875	h1+h2=H2=0.2500
3	23	f3=  8	f1+f2+f3= F3=16	F2+f3=F3=16	h3=f3/N=0.2500	h1+h2+h3=H3=0.5000
4	41	f4=  4	f1+f2+f3+f4= F4=20	F3+f4=F4=20	h4=f4/N=0.1250	h1+h2+h3+h4=H4=0.6250
5	47	f5=  7	f1+f2+f3+f4+f5= F5=27	F4+f5=F5=27	h5=f5/N=0.2187	h1+h2+h3+h4+h5=H5=0.8430
6	52	f6= 5	f1+f2+f3+f4+f5+f6= F6=32	F5+f6=F6=32	h6=f6/N=0.1563	h1+h2+h3+h4+h5+h6=H6=1.0000
Total		N=32

Significado de símbolos

i Renglón

N Número total de datos

f Frecuencia

F Frecuencia acumulada

h Frecuencia relativa

H Frecuencia relativa acumulada

Distribución de frecuencias

El hecho de agrupar los datos cuando el número de observaciones es muy grande, permite sintetizar la información para una mejor descripción de la muestra. Para lograrlo, las observaciones se agrupan en clases o intervalos de clase en una tabla de distribución de frecuencias.

Una vez que se han tabulado o representado los datos, se pueden calcular medidas de tendencia central y dispersión (que se verán más adelante), las cuales describen con mayor precisión la muestra o población de interés.

Se iniciará con la revisión de algunos conceptos sobre el intervalo, para continuar con los pasos a seguir para elaborar una distribución de frecuencias para una muestra de datos.

Definiciones

Intervalo o rango

Conjunto de valores comprendidos entre otros dos números dados, conocidos estos últimos como límites del intervalo.

Intervalo de clase

Es la expresión que se utiliza para nombrar a un intervalo. Tiene un límite superior Ls y un límite inferior Li.

Amplitud del intervalo

Es la diferencia del límite superior menos el límite inferior (Ls-Li).

Fronteras de clase

Son los puntos medios entre los límites de intervalos consecutivos. Las fronteras de clase se utilizan para recuperar los datos entre el límite superior de un intervalo y el límite inferior del siguiente.

Marca de clase

Es el punto medio del intervalo y es el resultado de la suma de los límites inferior y superior del intervalo dividido entre dos. A la marca de clase también se le denomina punto medio de clase.

Intervalo o rango

Para ejemplificar los conceptos se utilizarán los números 15 y 25 El intervalo corresponde a todos los números que se encuentran entre el 15 y el 25. El rango es el resultado de restar el valor más alto, menos el más bajo.

Intervalo de clase

El intervalo de clase sería: 15-25. Los límites del intervalo son:

Límite inferior = 15

Límite superior = 25

Amplitud del intervalo

La amplitud del intervalo 15-25 sería: 25 menos 15, es decir 10. Es recomendable que todos los intervalos tengan la misma amplitud. Para ello podemos restar el dato menor del dato mayor y dividir este resultado entre el número de intervalos que se deseen.

Fronteras de clase

Si se toman los intervalos 4-14, 15-25 y 26-36, las fronteras de clase serían: 3.5 y 14.5 para el primer intervalo, 14.5 y 25.5 para el segundo intervalo, y por último, 25.5 y 36.5 para el tercer intervalo.

La frontera de clase no debe coincidir con los datos límite del intervalo, porque sería complicado identificar el intervalo al que pertenece dicho dato.

Ejemplo: Con base en las fronteras dadas se construyen los nuevos intervalos 3.5-14.5, 14.5-25.5 y 25.5-36.5. Si se tiene el dato 25.5 no se sabría si ponerlo en el segundo o en el tercer intervalo.

Si esta coincidencia sucede deberá moverse el intervalo. Siguiendo con el ejemplo, si se mueve un punto a la izquierda, se tendrían los intervalos 2.5- 13.5, 13.5-24.5 y 24.5-35.5.

La marca de clase del intervalo 15 − 25 es igual a:

15 + 25 = 40 =20

     2          2

Es recomendable que la marca del intervalo coincida con alguno de los datos. Esto no es estrictamente necesario y no siempre se logra, sobre todo cuando los intervalos tienen la misma amplitud.

Elaboración de una distribución de frecuencias

Los pasos a seguir para determinar una distribución de frecuencias para una muestra o población se presentan a continuación.

1. Calcular el rango

La formación de clases o intervalos de clase, que se representan con (k), dependen, generalmente, del tamaño del rango de la población o muestra 

Para calcular el rango se identifica el número mayor (Xn) y el número menor (X1) en los datos. El rango es el resultado de la resta, esto es:
R=  Xn  – X1

Por ejemplo: Si en una serie de datos que van desde el 18 hasta el 56, se tendría lo siguiente: Xn = 56 y X1 = 18, por lo tanto:

R=  Xn  – X1 = 56 − 18 = 38

2. Determinar el número de intervalos que se desea tener

No existe una regla para determinar el número de intervalos, pero generalmente se suelen crear entre 5 y 20 intervalos. La decisión la toma el investigador. Siguiendo con el ejemplo, se diría que vamos a construir 7 intervalos. Entonces se dice que K = 7.

3. Dividir el rango entre el número de intervalos que se desea tener

Recuerda que lo recomendable es elegir un número entre 5 y 20 para los intervalos. Se divide entre uno menos de los intervalos deseados porque con el número de datos se acumula un intervalo más. 

Siguiendo con el ejemplo, se quieren 7, entonces:

38 ≈ 5.428

7

Ésta será la amplitud de los intervalos. Cuando no es un número entero, se escoge el entero más cercano, como en este caso, se toma el rango igual a 5. Cuando la cantidad de datos es tal que no alcanza para acumular un intervalo más, entonces se divide entre el número de intervalos que se quieren.

4. Se forman los intervalos (comenzando un número antes del primer dato).

Intervalos:

17 a 22 (se cuenta 5 desde 18 hasta 22)

23 a 28

29 a 34

35 a 40

41 a 46

47 a 52

53 a 58

Nota: No importa que el último intervalo exceda el último dato.

Ejemplo de distribución de frecuencias

Para ilustrar la distribución de frecuencias de una muestra de datos se usará el siguiente ejemplo:

El director de una consultoría en desarrollo de software desea conocer el número de incidencias  en sus desarrollos reportadas durante los meses de agosto y septiembre. Para ello pide a uno de sus empleados que le elabore un reporte; el empleado tiene los siguientes datos:

35, 24, 26, 23, 50, 20, 25, 56, 30, 30, 38, 36, 35, 29, 28, 30, 40, 39, 38, 40, 27, 24, 30, 32, 35, 27, 29, 22, 28, 27, 48, 40, 48, 31, 39, 28 46, 36, 37, 52, 44, 49, 52, 41, 31, 31, 56, 58, 38, 26, 25, 24, 60, 55, 48, 37, 31, 30, 22, 20.

1. Calcular el rango

R=  Xn  – X1 = 60 − 20 = 40

2. Determinar el número de intervalos que se desea tener

Se eligieron 8 intervalos

3. Dividir el rango entre el número de intervalos que se desea tener

40 = 5

 8

4. Se forman los intervalos

Se comienza por un número anterior al límite inferior: 19 − 24, 25 − 29, 30 − 35, 36 − 40, 41 − 45, 46 − 50, 51 − 55, 56 − 60.

Finalmente se elabora la distribución de frecuencias. En la siguiente tabla puedes observar la forma en que quedan distribuidas las frecuencias.

Existen diferentes tipos de tablas para presentar los datos, las más utilizadas son:

Tabla de datos

Una tabla de datos es la forma más sencilla de organizar un conjunto de datos y se utiliza cuando la información que se necesita son los datos mismos. Se organizan en columnas o renglones y se registran las mediciones o datos obtenidos.

Ejemplo: Supón que la medición de temperatura a lo largo del día da como resultado los siguientes valores en grados Celsius: 20.4, 21.2, 22.1, 23.9, 25.3, 26.9, 27.7. Entonces se construye una tabla como la que se muestra.

Tabla de frecuencias

Nos aporta mayor información pues está formada por categorías de la variable que se esté midiendo y su frecuencia (es decir, el número de ocurrencias de un valor dado).

Esta ordenación de datos estadísticos son asignados según su frecuencia.

Ejemplo: Supón que un experimento da los siguientes valores medidos: 1, 2, 2, 2, 1, 1, 5, 4, 3, 2, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 3, 2.

Se procede entonces a agrupar por categorías, según la frecuencia o número de veces que aparece cada medición:

Nota: Observa que aunque los datos son numéricos, la variable es cualitativa.

Tabla por intervalos de clase

En este tipo de tablas los datos son presentados por intervalos de clase y no por los valores correspondientes a cada variable.

Ejemplo: En una encuesta sobre el desempleo en el Área Metropolitana de la Ciudad de México, se organizan los datos por grupos de edades (intervalos de clase) y se presenta la frecuencia de cada intervalo, teniendo un total de 23,700 desempleados.

Tabla de doble entrada

Estas tablas proporcionan información referente a dos variables o eventos relacionados entre sí. Se forma poniendo en los renglones de la tabla la información de una de las variables y en las columnas la información de la otra variable.

Ejemplo: Supón que se mide el número de cirugías realizadas por edades en una muestra de 100 personas, encontrándose lo que se observa en la tabla.

Una tabla cualquiera puede ser vista como una tabla de doble entrada, en la cual las variables relacionadas son los rangos contra el valor de las variables en dicho rango.

Por ejemplo: Supón que se mide la temperatura de un líquido con respecto al tiempo de calentamiento. En el renglón se colocan los tiempos y en las columnas la temperatura obtenida. Se podría considerar como una tabla de frecuencias o como una tabla de doble entrada.

En el tema anterior viste cómo tabular datos de una muestra y elaborar la distribución de frecuencias. Cuando las distribuciones se estructuran para condensar numerosos datos y representarlos en forma fácil de asimilar, es mejor presentarlos gráficamente, pues “una imagen dice más que mil palabras”.

Las gráficas son representaciones visuales de los datos que se muestran en una tabla, existen diferentes tipos de gráficas, cada una de ellas se elabora con base en el tipo de información que se quiere representar. Para ilustrar los tipos de gráficas, antes mencionados, se ha considerado la siguiente tabla de datos:

 .

Medición en cm	Frecuencia	Frecuencia acumulada	Porcentaje
30	3	3	3%
30.1	7	10	6%
30.2	12	22	10%
30.3	18	40	15%
30.4	23	63	19%
30.5	21	84	18%
30.6	17	101	14%
30.7	11	112	9%
30.8	5	117	4%
30.9	1	118	1%

Histograma

Es la representación gráfica más común de una variable continua. Se elabora en un sistema de coordenadas rectangulares.

El histograma también proporciona visualmente el aspecto de la distribución y dispersión de las mediciones.

Gráfica de barras

Se utiliza para datos de tipo ordinal, nominal y discreto. En éstas se pueden representar la frecuencia, la frecuencia relativa y el porcentaje por medio de la altura de la barra y no por el área de la barra. Esta gráfica muestra las discontinuidades en las mediciones por medio de espacios vacíos entre las barras. 
La gráfica de barras se traza sobre un eje de coordenadas y puede ser de dos formas:
Barras verticales:

• En el eje horizontal se representan los valores de la variable, pero no es necesario tener una escala horizontal continua.
• En el eje vertical se representa la frecuencia de cada clase. 

Barras horizontales: 

• En el eje horizontal se representan las frecuencias.
• En el eje vertical los valores de la variable. 

Un histograma y una gráfica de barras son muy semejantes, la diferencia radica en que el histograma no presenta separación entre las barras.

Polígono de frecuencias

A menudo se usa el polígono de frecuencias en lugar del histograma. Difiere de éste en que sobre el eje de las X se registran las marcas de clase, que se completan con una marca en los extremos de la distribución cuya frecuencia es 0.
El polígono de frecuencias es la representación en un plano de los puntos (xi, fi) unidos por una línea quebrada o polígono. En los puntos obtenidos, las marcas de clase x son las abscisas, y la frecuencia f son las ordenadas.

Gráfica circular o de pastel

Para representar datos u observaciones de una variable cualitativa se usa una gráfica circular. Donde se divide un círculo en secciones, las cuales son proporcionales en tamaño con las frecuencias relativas o los porcentajes correspondientes.

Ojiva

La representación gráfica de una distribución de frecuencias relativas acumuladas se denomina ojiva, se elabora sobre un plano de manera similar al polígono de frecuencias, pero en la ojiva el eje de las abscisas corresponde a los límites de clase y el de las ordenadas a los porcentajes acumulados.

Análisis de datos

La finalidad de construir distribuciones de frecuencias, ya sea con datos agrupados o no agrupados, consiste en que seas capaz de analizar e interpretar los datos, para ello, recurrirás en primera instancia al análisis de datos a partir de las frecuencias y posteriormente elaborarás representaciones gráficas que te permitan visualizar el comportamiento de los datos para obtener una primera aproximación a alguna conclusión.

Frecuencias relativas

La frecuencia relativa de una clase se obtiene dividiendo la frecuencia de cada clase entre el número total de observaciones de la muestra. Cuando estos resultados se multiplican por 100 el resultado se denomina distribución de porcentajes, la suma de las frecuencias relativas es igual a 1 (que representa al 100%). Por esta razón son muy útiles para elaborar una gráfica circular, para lo cual se requiere primero convertir la distribución de frecuencias relativas en una distribución porcentual.

Frecuencias acumuladas

Cuando se quiere establecer el número de observaciones que están por debajo de determinada clase, se suman las frecuencias de una clase con la inmediata superior, a este tipo de frecuencia se le llama frecuencia acumulada de esa clase. Si ese resultado se expresa en porcentaje se denomina distribución de porcentajes acumulados.

La ojiva, llamado gráfico de porcentajes acumulados, proporciona, hablando de estatura, el porcentaje de individuos cuya estatura es superior o inferior a determinado valor. 

Sesgo de la distribución Aunque las distribuciones de frecuencias pueden tener casi cualquier contorno o forma, como lo viste en los histogramas y las gráficas de barras del ejemplo del punto anterior, la mayoría de las distribuciones que encontrarás en la práctica se pueden describir mediante alguno de los tipos siguientes: