Concepto de la derivada

Antes de explicarlo debemos recordar qué es un diferencial, el que encontramos simbolizado con la letra delta Δ.
Δ= diferencia o variación.
Por ejemplo en una recta de 6 a 14, podríamos representar su avance de manera gráfica:
                                    º____________________º
---¦---¦---¦---¦---¦---¦---¦---¦---¦---¦---¦---¦---¦---¦---¦---¦---¦---¦---¦---¦---¦---¦
    0   1   2   3   4   5    6   7   8   9  10 11  12 13  14  15 16 17 18 19  20 21

6-13=8
Δ=8
8 fue la diferencia que tuvo que recorrer para avanzar de 6 a 14.
Una diferencia con variables la vamos a escribir de la siguiente manera:

Δy=y2-y1
Δrepresenta que hay una diferencia entre dos variables y que son y2-y1. Lo mismo pasa si lo representamos con x.
Δx=x2-x1

y'=lim Δy
   Δx0 Δx
Donde y = f(x) = variable dependiente, x = variable independiente, que en el plano cartesiano y representa el plano diagonal y x el horizontal.
↑y
¦
¦
¦-------------→x
La derivada de una función se va a representar con un apostrofe y' que representa su derivada ya hecha. Observemos que está compuesta por tres partes:
1.- Una es la parte del límite (Δx)
2.- Los diferenciales (Δy)
3.- Y la división.
Δy
Δx
Cualquier expresión que tenga estos tres elementos se dice que es la derivada. Es importante que el límite se pueda aplicar al cociente (Δy) puesto que no, no podría completarse la derivada.
Existen varias áreas del conocimiento que tienen esta estructura:
y'=lim Δy
   Δx0 Δx
Por ejemplo en la física:
v=d2-d1

t2-t1

E incluso la geometría, ya que geométricamente hablando una derivada es la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto dado.
m=y2-y1
x2-x1


Cuando f(x) es una constante vale cero:
f(x)=k
f'(x)=0

Ejemplos:
f(x)=7
f'(x)=0

f(x)= π
f'(x)=0

f(x)=e
f'(x)=0

f(x)=√3/4
f'(x)=0

O también podríamos definirlo como la derivada de x con respecto a ax
 d  c=0
dx

Cuando la derivada de x con respecto a x
 d  x=1dx
dx
f(x)=x f'(x)=1dx

Ejemplo:
f'(x)=1x¹⁻¹=1x⁰=1(1)=1

Con una potencia
 d  (xⁿ)=nxⁿ⁻¹
dx

f(x)=xⁿ  f'(x)=nxⁿ⁻¹

Ejemplos:
f(x)=x²⁻¹=2x
f(x)=x⁶
f''=(x)=6x⁵

f(x)=x⁴
f'(x)=4x⁴⁻¹=4x³
Verificación
Fórmula
f(x)=xⁿ f'(x)=nxⁿ⁻¹
f(x)=k*xⁿ f'(x)=knxⁿ⁻¹
f(x)=3x² ⁿ⁼²
f'(x)=3(2) x¹=6x

Mediante la fórmula
d  c(v) = c dv
dx          dx

d  (4x⁴)=4d(x⁴)=4(4x³)=16x³
dx          dx
Comprobación
f(x)=4x⁴
f'(x)=4(4)x⁴⁻¹=16x³

Logaritmo natural
f(x)=1nx f'(x)1
                    x

f(x)=eˣ     f'(x)eˣ
f(x)=senˣ  f'(x)=cosˣ
f(x)=aˣ     f'(x)=aˣ1na

f(x)=4ˣ
f'(x)4ˣ1n4



Con todos estos elementos ahora resolveremos las siguientes operaciones:
Fórmula:
 d (v±v±w)=dv±dv±dw)
dx             dx    dx   dx

f(x)=x³+x²+x+5
Paso 1:Derivada de x con una potencia
x(3)³⁻¹=x3²
Paso 2:cuando la derivada de x con respecto a x
x(2)²⁻¹=2x
Paso 3:
x(1)=x¹⁻¹=x
Paso 3, cuando f(x) es una constante vale cero::
f(x)=5
f'(x)=0
Resultado:
f'(x)=3x²+2x+1+0


Vamos a derivar de nuevo:
 d= (5x³+3x²+6x+5)
dx
5(3)x³⁻¹+3(2)x²⁻¹+6(1)x¹⁻¹+0
f'(x)=15x²+6x+6

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