Importancia de las matemáticas financieras

Hay eventos a los que se enfrenta una PyME donde es necesario conocer expresiones matemáticas como las funciones que permitan decidir si se pide un préstamo para pagar mensualmente o la utilización de las progresiones matemáticas es esencial en la compra de mercancía a crédito, en el pago de intereses, etc.

Ignorar las matemáticas financieras promueve a tomar decisiones que impactan en su estructura económica al grado de terminar cerrando.

Es difícil encontrar el significado de enunciados expresados con números. No obstante, adquieren significado si éstos son comparados con otros números. Por ejemplo, si a un mesero le pagan $95.00 por hora de trabajo, puede darse cuenta que su salario es insuficiente para solventar sus gastos, pero no sabe si su trabajo es bien remunerado si no lo compara con el de otra persona que realice la misma actividad. Si otro individuo está ganando $100.00, el mesero podría pensar que está trabajando bajo condiciones económicamente desfavorables.

Pero, si el sueldo promedio de esta actividad es de $90.00, entonces su oferta es buena.

Un método muy útil de comparación es la razón, que se puede definir como la comparación entre dos números similares. Ahora bien, es necesario mencionar que se conocen dos tipos de razones:

Razones aritméticas	Razones geométricas
En estas razones, la comparación de cantidades se hace mediante una resta. Ejemplo: la razón aritmética de 10 y 4 es 6 10-4=6 a-b=R	La comparación está dada por el cociente (división) de las dos cantidades. a = K b

Ejemplo uno:

Si un estacionamiento tiene un total de 100 vehículos, de los cuales 40 son camiones y 60 camionetas, entonces la razón de camiones a camionetas es de 40 a 60, también es correcto expresarlo como 40:60 ó 40/60. Esta última forma de expresión de razones se puede utilizar para realizar cálculos. Las razones expresadas como fracciones pueden ser menor que, igual a, o mayor que 1.

Si un segundo estacionamiento tiene 85 vehículos, incluyendo 60 camionetas:

—→La razón de camionetas en el primer estacionamiento a camionetas en el segundo estacionamiento es de 60/60, o sea 1.
—→La razón del número de vehículos en el segundo estacionamiento en relación al número de vehículos existentes en el primero es de 100/85, o sea, más de 1.

En uno de los ejemplos vistos anteriormente, la razón de camiones a camionetas es de 40/60, el cual se puede reducir a 4/6 y se interpreta de la siguiente manera:

—→Existen 4 camiones por cada 6 camionetas en el primer estacionamiento.
—→En el estacionamiento hay cuatro sextas partes de camiones en comparación con las camionetas.

La segunda razón con el número de camiones, a comparación del total de vehículos, 40/100, se puede reducir a 4/10 y esto significaría que:

—→Cuatro décimas partes del estacionamiento son camiones.
—→De cada 10 vehículos, 4 son camiones.

Ejemplo dos:

Un colegio compró una nueva bandera con el escudo de la institución. Si la bandera tiene 10 metros de largo y 5 metros de ancho, ¿cuál es la razón del largo contra el ancho?

Razón = Longitud = 10 metros
               Ancho  =   5 metros

La cantidad con la que se realiza la comparación es el denominador.

Razón = 2, 2 a 1, 2:1
             1

Simplifica el quebrado dividiendo el numerador y el denominador entre un mismo número. Esto significa que el largo de la bandera es el doble del ancho.

Ejemplo tres:

Durante el periodo de ventas de mediados de junio, tres compañías fabricantes de computadoras en México vendieron 150,000 computadoras. De éstas, las ventas de la compañía 1 fueron de 90,000 computadoras. La razón de las ventas de la compañía 1 en comparación con el total se define de la siguiente forma:

Razón = Ventas de la compañía 1
           Ventas de las tres compañías

La cantidad contra la que se hace la comparación es el denominador.

Razón = 90,000 = 90 = 3
            150,000   150   5

Esto significa que, de cada 5 computadoras que fueron compradas en junio del 2015, 3 fueron fabricadas por la compañía 1

Si la razón trata fuera el número de computadoras de la compañía 1 vendidas en comparación con el número de computadoras vendidas por las demás compañías, la razón sería:

Razón = Ventas de la compañía      =         90,000       = 90,000 ≈ 10,000 = 3
           Ventas de las tres compañías   150,000-90,000    60,000     60,000    5

≈ significa: "aproximadamente es igual a" o "es semejante a"

Esta razón señala que durante junio se vendieron 3 computadoras de la compañía 1, por cada 2 computadoras vendidas por los demás fabricantes.

Ejemplo cuatro:

Una tienda compró un costal de azúcar en $50.00 y lo vendió a $80.00. La ganancia bruta (la diferencia entre el costo y el precio de venta) fue de $30.00. Las siguientes razones pueden ser de utilidad para la tienda:

Costo al precio de venta = 50/80 = 5/8
Ganancia bruta a precio de venta = 30/80 = 3/8
La ganancia bruta al costo = 30/50 = 3/5
La ganancia bruta fue de 3/5 del costo.

1.1.1 Proporciones

Son simplemente la comparación entre dos cantidades o razones, independientemente de su índole (aritmética o geométrica).
La variación proporcional describe relaciones especiales entre cantidades variables. La variación proporcional puede ser directa, inversa o mixta.

1.1.2 Reparto proporcional

Si Y es directamente proporcional a X o si Y varía directamente con X y si existe una constante K diferente de cero, entonces: Y=kX

La constante K recibe el nombre de constante de proporcionalidad directa.

Cuando dos cantidades son directamente proporcionales y K es positiva, se cumple que si una de las variables se incrementa o disminuye, la otra también tendrá el mismo efecto. Por ejemplo, el costo del servicio de telefonía celular y el número de minutos consumidos son cantidades directamente proporcionales, ya que al aumentar el número de minutos consumidos, aumenta el costo.

Ejemplos de reparto proporcional

Si "y" es directamente proporcional a "x" y y=36 cuando x=12, encuentra el valor de "y" cuando x=10.

Sustituir los valores numéricos x=12 y y=36 en la ecuación y=kx.
Calcular el valor de la constante de proporcionalidad:

y = kx
36 = k (12)
k=36= 3
    12

La constante de proporcionalidad es 3. Por lo tanto, la ecuación que relaciona a x con y es:
y=kx
y= 3x

Si el nuevo valor de x es 10, entonces el nuevo valor de y será:
y = (3)(10) = 30

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Si z varía en forma directa a (x-w) y z=2 cuando x=10 y w=7, calcula x cuando:
w=3
z=9

z=k(x-w)
2=k (10-7)
2=k(3)

k = 2
      3
Por lo tanto,

z =2 (x - 3)
     3

Si los nuevos valores de w y z son 3 y 9, respectivamente, el nuevo valor de x será:
9 =2 (x - 3)
     3

27 = 2 x - 6
x =33
      2

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Si 10 aspiradoras cuestan $8700, ¿cuánto costarán 8 aspiradoras iguales a las anteriores?
Mientras más aspiradoras se compren, más pesos se deben pagar, por lo tanto, estas cantidades están relacionadas de manera directamente proporcional.

Sea A la cantidad de aspiradoras compradas y C la cantidad de dinero a pagar en pesos. Por lo tanto:
C=kA
k=C=8700=870
    A    10

La ecuación que relaciona C con A es C=(870) A. Si A=8, entonces C=(870)(8)=$6,960.
También es posible escribir la relación entre C y A de la siguiente forma: A=kC
Por tanto:

k = A =   10   = 0.001149425
      C   8700

Entonces, se tiene la siguiente ecuación: A= 0.001149425(C). Si A = 8, entonces:

C =        A          =         8           = $6,960
      0.001149425   0.001149425

1.1.3 Regla de Tres Inversa y Compuesta

Variación proporcional indirecta

"y" es inversamente proporcional a "x", o "y" varía inversamente con "x", si existe una constante "k" diferente de cero, tal que: yx = k
La constante "k" recibe el nombre de constante de proporcionalidad inversa.

Cuando dos cantidades son inversamente proporcionales y es positiva, entonces se cumple que si una de las variables se incrementa, la otra disminuye; o bien, si una de las variables disminuye, la otra se incrementa. Por ejemplo, si se va a organizar una reunión en la cual todo el que asista tiene que cooperar, la cantidad de dinero de cooperación es inversamente proporcional a la cantidad de personas que asistan a la reunión, es decir, al aumentar el número de personas, la cantidad de dinero con la que tiene que cooperar cada una es menor y viceversa.

Ejemplo de variación proporcional indirecta

Si x varía en forma inversamente proporcional a y, cuando x=42 así como y=24, encuentre y cuando x=15.

Al sustituir los valores numéricos x=42 y y=24 en la ecuación yx=k, se puede calcular el valor de la constante de proporcionalidad.
yx=k
(24)(42)=k
k=1008

La constante de proporcionalidad es 1008; por lo tanto, la ecuación que relaciona a x con y es:
yx=1008

Si el nuevo valor de x es 15, entonces el nuevo valor de y será:

y = 1008 = 1008 = 67.2
        x           15

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Seis hombres levantan una barda en quince días. ¿En cuántos días podrían hacer la misma obra ocho hombres?
Como a más hombres trabajando en la obra, se necesitan menos días para terminarla, estas cantidades son inversamente proporcionales. Si H es el número de hombres y d es el número de días, entonces:
Hd=k

Es decir:
k = (6)(15) = 90

Por lo tanto:
d = k = 90 = 11.25 días.
      H    8

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Una compañía otorga un incentivo económico a tres de sus trabajadores de $200,000.00 en forma inversamente proporcional a sus ingresos por mes, los cuales son los siguientes: María gana $6 000.00, Jorge gana $7 000.00 y Cecilia gana $8 000.00. ¿Cuánto dinero le toca a cada uno?

Sea:
x = Cantidad de dinero que le toca a María
y = Cantidad de dinero que le toca a Jorge
z = Cantidad de dinero que le toca a Cecilia

Entonces despejando x, y y z de las ecuaciones siguientes, se tiene:
(x)(6,000)= k
(y)(7,000)= k
(z)(8,000)= k

Sustituyendo los valores en la siguiente ecuación se tiene:
    k    +     k      +    k    = 200,000
6000      7000       8000

k=(   1    +   1    +   1    ) = 200 000
     6000   7000    8000

k =               200 000        
         (   1    +   1    +   1    )
           6000   7000   8000

k =        200 000     
              (   73    )
              168,000

k =33600000000
            73

Por lo tanto,
k = 460,273,972.6

Sustituyendo el valor de k en cada una de las ecuaciones:
(x)(6 000) = k

y = 460,273,972.6 = $76712.33
           6 000

(y)(7 000)= k

y = 460 ,273,972.6 = $65753.42
          7 000

(z)(8 000)= k
y = 460 273 972.6 = $57534.25
           8 000

Variación proporcional mixta

En los temas desarrollados con anterioridad, únicamente se contemplan 2 variables. En ocasiones, te presentarán problemas con más de 2 variables que se encontrarán relacionadas de manera inversa o directa, es decir, que presenten los 2 tipos de variación.

Un tipo de variación proporcional con más de 2 variables es la variación compuesta.
Se dice que una variable cambia conjuntamente con 2 o más variables si es directamente proporcional a su producto
Por ejemplo, si x varía conjuntamente con, y, z y w esto significa que x varía en forma directamente proporcional al producto de y, z y w es decir, x=kyzw en donde k es la constante de proporcionalidad y diferente de 0.

Otro ejemplo: Si a=k√bc, se dice que varía conjuntamente con b y la raíz cuadrada de c.

Ejemplo de variación proporcional mixta

Considera que y varía conjuntamente con x y el cubo de z e inversamente con el cuadrado de w. Si y = 9 cuando x = 6, z = 2 y w = 4, determina y si x = 8, z = -4 y w = 2.

De acuerdo al enunciado, la ecuación que une a las variables es yw²=kw³.
Sustituyendo los valores y = 9, x=6, z=2 y w=4, el valor de k se obtiene mediante:
(9)(4)²=k(6)(2)³

k= (9)(4)²=3
     (6)(2)³

Por tanto, la ecuación que relaciona a y con x, z y w es yw²=3zx³.

El valor de y para los nuevos valores de x, z y w será:

y=3xz³=(3)(8)(-4)³= -384
      w²          (2)²

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El total de combustible consumido por un avión que viaja con velocidad constante varía de forma conjunta con la distancia recorrida y con el cuadrado de la velocidad. Si un avión consume 250 litros al recorrer 230 kilómetros a la velocidad de 200 km/h, ¿cuánto consumirá si recorre 530 km a 300 km/h?
Sea C el total de combustible consumido, s la distancia recorrida y v la velocidad. La ecuación de variación es:

C=ksv²

Por lo tanto:
k=   C   =      250       = 2.7173x10⁻⁵
      sv²     (230)(200)²

El valor de C para los nuevos valores de distancia y velocidad es:
C=(2.7173 x 10⁻⁵)(530)(300)²
C=1296.19 litros.

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Paso a paso para resover un problema de variación proporcional inversa

En un concurso académico llevado a cabo entre los estudiantes de una universidad pública, se repartió un premio de $20,000 pesos entre los 3 finalistas en forma inversa al tiempo que se tardaron en resolver el conjunto de problemas y el número de problemas resueltos incorrectamente. Uno de los finalistas tardó 60 minutos en resolver los problemas y tuvo 6 problemas incorrectos; otro finalista tardó 50 minutos y tuvo 4 problemas incorrectos; y el tercero tardó 40 minutos y tuvo 8 problemas incorrectos.

¿Cuánto dinero recibió cada concursante?
De acuerdo al enunciado del problema se tiene que:
En donde c es la cantidad que recibirá cada finalista, t es el tiempo empleado en la resolución de los problemas y n es el número de problemas que contestaron erróneamente.

Sea:
x = Cantidad de dinero que recibe el primer finalista
y = Cantidad de dinero que recibe el segundo finalista
z = Cantidad de dinero que recibe el tercer finalista

Por lo tanto:
(x)(60)(6) = k
(y)(50)(4) = k
(z)(40)(8) = k
Es decir:
x=    k   
      360
y=    k   
      200
z =    k   
       320
Por otro lado se sabe que:
x+y+z= 20,000
  k  +   k   +  k  = 20,000
360   200    320
Por lo tanto:
k = 1,834,394.904
La cantidad que le toca a cada uno de los finalistas es:
x= 1,834,394.904= $5,095.4
             360
y= 1,834,394.904= $9,171.97
             200
z= 1,834,394.904= $5,732.48
             320

1.1.4 Tanto por ciento

Toma el periódico cualquier día y encontrarás enunciados como los siguientes:

Descuento del 40% en ropa de temporada.
Se presentó una disminución del 3.2% en el precio de las hortalizas.
La precipitación pluvial ha disminuido 4% respecto al año anterior.
La tasa de interés anual es del 7%.
El 35% de las personas entrevistadas están de acuerdo con la nueva ley.

Independientemente del tema que se esté tratando, la relación entre dos cantidades se expresa frecuentemente en porcentaje (%). El término porcentaje proviene de la palabra latina que significa "cien" y se representa con un quebrado cuyo denominador es 100. Por consiguiente, 40% se podría escribir como 40/100 ó 0.40.

Muchos problemas de la economía, la administración y sus respuestas, se expresan en forma de porcentaje. En general, las matemáticas financieras presentan términos expresados en porcentajes.

Uno de los usos más comunes de los porcentajes se encuentra en el sistema monetario de México. Un peso, está dividido en 100 partes, cada una de las cuales representa 1% del peso, es decir, un centavo.

Cualquier unidad (población, importe de dinero, costo de un artículo, etc.) se puede estimar como dividido en cien partes iguales. Por consiguiente, cada parte es el 1% del total.

Aunque el signo de porcentaje (%) es conveniente y se utiliza comúnmente en la escritura, no se usa en el cálculo. Tiene un valor aritmético definido y antes de comenzar cualquier cálculo, la cantidad presentada como porcentaje se tiene que cambiar a un quebrado equivalente o un decimal. El equivalente aritmético de % es 1/100 o 0.01.

Un porcentaje se puede cambiar a un decimal o quebrado equivalente sustituyendo el signo por su valor, por ejemplo:

87% = 87(0.01) = 0.87% ó 87% ( 1 ) =  87 
                                                100     100

Se ha cambiado la forma, pero no el valor de 87%. Mecánicamente, el cambio se lleva a cabo en dos etapas.

Regla
Para cambiar un porcentaje a decimal desplaza el punto decimal 2 lugares hacia la izquierda y elimina el símbolo de porcentaje (%).
Para cambiar un porcentaje a un quebrado multiplícalo por 1/100 y elimina el signo de porcentaje (%).
Nunca se puede añadir o eliminar el símbolo de porcentaje (%) sin un paso adicional.

Los siguientes ejemplos incluyen la aritmética de los quebrados y los decimales.

Pasos para cambiar porcentaje a decimales o quebrados

Para cambiar porcentaje a decimales

Desplaza el punto decimal dos lugares a la izquierda y elimina el símbolo %
39% = .39% = 0.39

Para cambiar porcentaje a quebrado

Multiplica por 1 y elimina el símbolo %
39% = (39)   1   =  39 
                  100     100

Comprobación: convierte (39/100) a decimales dividiendo 39 entre 100. El resultado es 0.39. Se ha cambiado la forma, pero no el valor de 39%.

Ejercicios para cambiar porcentaje a decimales o quebrados

Porcentaje a decimales
4%= .04% =0.04

Porcentaje a quebrado
4% = (4)  1  =  4  =  1 
              100  100     25

Comprobación
Convierte  1  a decimales dividiendo 1 entre 25. El resultado es 0.04.
              25

Cambia 418% a un quebrado.
418% = (418)  1  = 418 = 4  18  = 4  9 
                     100   100       100        50

Porque 418% es= 100%+100%+100%+100%+18 y al simplificar el 18 (18/2) = 9 sobre 50 (100/2)

Al resolver problemas aplicados a la administración será necesario que cambies los porcentajes a quebrados o a forma decimal, ya que puedes usar cualquiera de ellos. Sin embargo, en un caso específico, el quebrado es más preciso cuando no existe un decimal exacto equivalente para el porcentaje.

Aunque los problemas en los negocios se trabajan con decimales o quebrados, con frecuencia las respuestas se convierten a porcentajes. El procedimiento para cambiar un decimal a un porcentaje es lo opuesto al método utilizado para convertir un porcentaje a decimales. Un quebrado se debe cambiar primero a decimal y después a porcentaje.

Regla:
Para cambiar un decimal a un porcentaje desplaza el punto decimal a 2 lugares hacia la derecha y añade el símbolo de porcentaje (%).
Para cambiar un quebrado a porcentaje cámbialo primero a decimal y después a porcentaje.

Progresiones aritméticas y geométricas

¿Te has preguntado para qué sirven las progresiones aritméticas y geométricas?
Supongamos que en una empresa que produce chocolates, el primer día se elaboran 97 kilogramos a través de las progresiones aritméticas podríamos saber cuántos chocolates se elaboran después de 30 días, sabiendo que la producción aumenta en 0.5 kg por día, lo que nos ayudará a calcular la producción a futuro.

De igual manera, las progresiones geométricas se relacionan por ejemplo con el comportamiento de sumas de dinero invertidas a cierto interés, y que tienen como característica que crecen o decrecen de manera acelerada, lo que nos ayuda a planear en cualquier empresa entradas o salidas de dinero y su comportamiento.

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética se define como una sucesión de números llamados términos, tales que 2 números cuales quiera consecutivos de la sucesión se encuentran separados por una misma cantidad llamada diferencia común.

1, 5, 9, 13… es una progresión aritmética cuya diferencia común es 4.
40, 30, 20, 10… es una progresión aritmética cuya diferencia común es -10.

Si se considera t₁ como el primer término de una progresión, d como la diferencia común y n el número de términos de la misma, se genera una progresión de la forma:

t₁,t₁ + d,t₁ + 2d,t₁ + 3d...,t₁ + (n-2)d,t₁ + (n-1)d


El último término de una progresión será igual al primer término de la misma adicionado de (n-1) diferencias.

un=t₁+(n-1)d

En una serie de 3 términos puede verse claramente esto:
t₁,t₁ + d,t₁ + 2d

El último término (t₁ + 2d) es igual al primer término (t₁), adicionado de (n-1) veces la diferencia común, ya que n=3,  n-1=2.

La suma de una progresión aritmética puede escribirse como sigue:
S=t₁,t₁ +d,t₁ +2d,t₁ + 3d...,t₁ + (n-2)d,t₁ + (n-1)d

Pero también puede escribirse en forma inversa:
S=u+(u-d)+(u-2d)+... (u-(n-2)d)+(u-(n-1)d)

Si se suman las dos expresiones término a término se tiene:
2S=(t₁+u) + (t₁+u)...+(t₁+u)+(t₁+u)
2S=n(t₁+u)

S=n(t₁+u)
         2

Así, la suma de una progresión aritmética de n términos es igual a la suma del primero y el último término multiplicado por n y dividido entre 2.

Ejemplo de progresión aritmética

Determina el onceavo término y la suma de la siguiente progresión aritmética: 3, 6, 9…
a) Se determina el último término aplicando u=t₁+(n-1) y considerando
t₁=3
n=11
d=3

u=t₁+(n-1)d
u=3+(11-1)3
u=3+30
u=33

b) Para determinar la suma se aplica la fórmula:
S=n(t₁+u)
         2
S=(3+33)11
          2
S=(36)11
         2
S= 396
       2
S=198

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Determina el último término y la suma de la progresión aritmética  si cuenta con 10 términos.
a) Se determina el último término aplicando u=t₁+(n-1) y considerando
t₁=60
n=10
d=-6

u=t₁+(n-1)d
u=60+(10-1)-6
u=60+(9)-6
u=60-54=6

b) Para determinar la suma se aplica la fórmula:
S=n(t₁+u)
         2
S=(60+6)10
          2
S= (66)10
        2
S= 660
       2
S=330

Ejemplo de progresión aritmética en la vida real

Un empresario adquiere una deuda con el Banco Nacional. Se acuerda que el préstamo bancario será de $24,000, el cual se acuerda pagar de la siguiente manera:

12 pagos mensuales de $2 000 pesos de capital más $1,200 pesos de interés en el primer pago (5% de 24 000).
El segundo pago será de $2 000 más $1,100 (5% de $22,000);
El tercer pago será de $2,000 más $1,000 (5% de 20,000), y así sucesivamente.
¿Cuántos intereses pagará el empresario?
t₁=1200
d=-100
n=12

Fórmula
S=           n         
     2(2t₁+(n-1)d)


S=                  12                 
     2(2(1200)+(12-1)(-100))

S= 6(2400+(-1100))

S= 6(1300)