Cálculo integral y sus aplicaciones

En unidades anteriores se ha estudiado cómo los diferentes tipos de funciones ayudan a comprobar y determinar el comportamiento de un fenómeno o situación del área económico-administrativa, a través de los límites, derivada, diferencial y cálculo de máximos y mínimos en el análisis marginal y tasas de cambio. En esta unidad se verá la importancia del cálculo integral como una forma de llegar a la función original si sólo se cuenta con la derivada y su importancia en el análisis marginal y en áreas económicoadministrativas.

Problemática

La representación de sucesos a través de funciones y su respectivo análisis, brindan a la empresa la posibilidad de anticipar costos de producción, utilidad máxima, etc. Sin embargo, determinar una función no es tarea fácil y muchos empresarios se encuentran bajo el yugo de la incertidumbre por no poder tomar decisiones asertivas con la información que tienen.
De tal forma, en esta unidad se establece la conveniencia de reconstruir funciones con base en el cálculo integral de aquellas expresiones matemáticas marginales con que cuenta la empresa.

La integral

En la unidad anterior se estudió el cálculo diferencial donde el problema central era: “obtener la derivada de una función dada”. Sin embargo, en el cálculo integral se encuentra la operación inversa de la derivada, es decir “obtener una función original integrando la derivada”.
Por ejemplo, ¿cómo se podría obtener la posición de una partícula si sólo se conoce su velocidad? 
Al concluir esta unidad podrás resolver éste y otro tipo de problemas.

Conceptos relacionados con la integral y fórmulas básicas de integración

La integración es el proceso de determinar una función cuando se conoce su derivada, esto es, la operación inversa o contraria a la derivación.
El símbolo con el que se representa a la integral es:  que denota la operación de antiderivación y que de manera general define a la integral de la siguiente manera:
∫f(x)dx=F(x)+C

En donde:
f(x)=F'(x)
C=  constante de integración para una integral no definida.

Fórmulas y reglas de integración:
➊ ∫adx = ax+c
➋ ∫af(x)dx=∫af(x)+c
➌ ∫(u±v+w±...)dx=∫udx±∫vdx±∫wdx±...
➍ ∫udv=uv-∫vdu Integración por partes.
➎ ∫f(ax)dx=¹/a ∫f(u)du
➏ ∫uⁿdu=uⁿ⁺¹/n-1 +c
➐ ∫ᵈᵘ/u=Ln|u|+c
➑ ∫eᵘdu=eᵘ+c
➒ ∫aᵘdu=aᵘ/Ln|a|

Ejemplo de funciones frente a fórmulas de integración

∫6dx  aplicando la primer fórmula se tiene que:
∫adx = ax+c
En donde para este caso:
a=6
dx=dx
Por lo que:
∫6dx=6x+c
∫(8x²+3x-2)dx aplicando la tercer fórmula y posteriormente para cada caso las fórmulas 1,6 y 2 se tiene que:
∫(u±v+w±...)dx=∫udx±∫vdx±∫wdx±...

Donde para este caso:
u=8x²
v=3x
w=-2
dx=dx
Por lo que:
∫(8x²+3x-2)dx
=∫8x²dx+∫3xdx-∫2dx
=8∫x²dx+3∫xdx-2∫dx
=8x²⁺¹+3x¹⁺¹-2x+c
   2+1    1+1
=8x³+3x²-2x+c
   3     2
∫3x²ˣ2dx aplicando la novena fórmula:
∫aᵘdu=  aᵘ  
          Ln|a|
En donde
a=3
u=2x
du=2dx
Se tiene entonces:
∫3x²ˣ2dx= 3x²ˣ +c
              Ln|3|
Como se puede observar, la resolución de las integrales mediante las fórmulas es fácil si se identifica la similitud de la fórmula con la integral problema, para posteriormente comenzar a sustituir los valores correspondientes.
Ahora bien, hasta ahora se ve la solución de integrales indefinidas, es decir, que requieren de una constante de integración para su solución debido a que no tienen una solución exacta, esto es, que no está definida en un intervalo o límites, Así entonces, como existen las integrales indefinidas, también existen las integrales definidas.

Integral definida

Una función f(x) está definida en el intervalo [a, b] si existe el límite de la función a medida que los incrementos tienden a 0 y el número de intervalos se aproxima al infinito, entonces el límite de la función es la integral definida desde un punto a hasta un punto b, y se representa como:
aᵇf(x)dx=F(X)Iaᵇ=F(b)-F(a)

Ejemplo de integral definida

Evalúe la siguiente integral:
∫₋₃⁵(4x²-2x+1)dx

Solución

Usando las fórmulas y reglas de integración, se tiene que:

Integración por sustitución

En muchas ocasiones la integral de una función no se puede resolver directamente a través de las fórmulas o por una sustitución, es ahí cuando se recurre a la integral por partes, esto es, que se tienen dos funciones dentro de la integral que hace necesario aplicar este sencillo método de integración.

Ejemplo de integración por sustitución

Sea la integral:
∫(x⁵+3)³5x⁴dx

Lo primero es sustituir el valor que se encuentra en el paréntesis por una sola variable, es decir, definir a "u" y "du" dentro de la integral dada:
u=x⁵+3
du=5x⁴dx
Sustituir "u" y "du" en la integral, esto es:
∫(x⁵+3)³5x⁴dx=∫u³du

Y dar solución a la integral en "u":
∫u³du=u⁴+c
           4
Finalmente se vuelve a retornar a las variables originales:
u⁴+c=(x⁵+3)⁴+c
 4          4
Así, se puede ver que una integral que contiene un polinomio elevado a una potencia o bien una función más complicada se puede reducir a una más sencilla y fácil de resolver.

Integración por partes

En muchas ocasiones la integral de una función no se puede resolver directamente a través de las fórmulas o por una sustitución, es ahí cuando se recurre a la integral por partes, esto es, que se tienen dos funciones dentro de la integral que hace necesario aplicar este sencillo método de integración, el cual se analizará con un ejemplo:

Sea la integral
∫eˣ(x+5)²dx

En este caso se tienen dos funciones dentro de la integral: una exponencial y un polinomio de un grado elevado a una potencia, y como se puede ver no es fácil de resolver con una fórmula o mediante una sustitución.
Debido a esto es recomendable utilizar la fórmula para integración por partes:
∫udv=uv-∫vdu
Al utilizar esta fórmula es necesario escoger qué función dentro de la integral será "u" y cuál "dv'.
Es recomendable que "u" corresponda a la función más complicada o bien al polinomio más grande y que "dv" sea la función más sencilla y fácil de integrar mediante una sustitución o de preferencia aplicando una fórmula, para este caso, se tiene que:
u=(x+5)²
dv=eˣ

De acuerdo a la fórmula para sustituir, se requiere conocer a "du" y a "v". Para encontrar "du" se requiere obtener la derivada de la función que se escogió, que para este caso es necesario recurrir a la regla de la cadena:
u=(x+5)²

Y aplicando la regla de la cadena para obtener du (esto es derivada del interior por derivada del exterior), así: 
du=2(x+5)²⁻¹
du=2(x+5)dx

Para encontrar v se requiere obtener la integral de la función que se escogió como "v", que para este caso es posible realizarlo con la fórmula:
∫eᵘdu=eᵘ+c

Así, se tiene que:
dv=eˣ

Entonces:
v=∫eˣdx
v=eˣ+c

Ahora lo que continúa es sustituir en la fórmula de integración por partes:
∫udv=uv-∫vdu
∫eˣ(x+5)²dx=(x+5)²eˣ-∫eˣ2(x+5)dx
∫eˣ(x+5)²dx=(x+5)²eˣ-[∫2xeˣdx+∫10eˣdx]

Se observa que se tienen dos integrales en la solución, pero que son más sencillas que la integral original; como se puede observar, la primera se podrá resolver por partes y la segunda aplicando una fórmula, así para:



La integral y sus aplicaciones en las matemáticas financieras

Las matemáticas financieras son una parte de la matemática aplicada que estudia los modelos matemáticos relacionados con los cambios cuantitativos que se producen en sumas de dinero. Para esto se requiere el cálculo integral.

Ejemplo de función de utilidad

La función de Utilidad tiene su fundamento en la teoría respecto al consumidor y que se refleja en el flujo monetario que tendrá la empresa al realizar la venta de algún artículo o cuando vende un servicio y esto está en función de los costos que se generen.
Recordando la función de Utilidad, se tiene:
U(x)=I(x)-C(x)

De la que se espera que siempre los ingresos sean mayores a los costos para así obtener la mayor ganancia posible. Así, se puede ver que al integrar la función de utilidad marginal se obtiene la Utilidad Total.

Una comercializadora de queso francés tiene, debido a sus ventas, la siguiente función de utilidad marginal:
U'(x)=230-10x

Determine la función de utilidad total de la empresa.
Solución: Para encontrar la función de Utilidad de la empresa comercializadora, es necesario integral la función de utilidad marginal, por lo que se tiene:
U(x)=∫U'(x)=∫dU=∫(230-10x)dx
U(x)=230x-10x²+c
                 2
U(x)=230x-5x²+c

Y ya que cuando no hay ventas de quesos la Utilidad será de cero, entonces la constante de integración c será igual a cero.
Por lo que finalmente la Utilidad Total de la comercializadora de queso francés estará dada por:
U(x)=230x-5x²+c

Asignación y agotamiento de recursos
Algunos conceptos relacionados con este tema son:
►Costo Capital: es el costo de compra menos el valor de recuperación.
►Costo de Operación: incluye a los costos de propiedad y mantenimiento de equipo
►Formación de Capital: es el proceso por el cual de manera continua se incrementa la cantidad acumulada de bienes de capital y está en función del tiempo.
►Recursos: son los elementos de carácter material, tecnológico o humano que sirven para desarrollar una tarea específica donde se quiere llegar a un objetivo final, de ahí que es importante describir los tres tipos de recursos con que cuenta una empresa:

Material
También llamado monetario, es el que permite destinar las cantidades de dinero para realizar diversas actividades, tales como los pagos, compras, salarios, entre otros. Así, cuando los ingresos de la empresa son iguales a los costos se crea un punto de equilibrio, y cuando los ingresos son menores a los costos las ganancias de la empresa se pierden y empieza a presentarse un agotamiento de recursos, lo que llevará a la empresa a la quiebra, ya que no puede hacer frente a sus necesidades.

Tecnológico
Es el que permite realizar la actividad de la empresa de manera eficiente y va desde la maquinaria del área de proceso hasta las computadoras del área de oficinas, es importante siempre tenerlo en buenas condiciones y contar con los recursos tecnológicos adecuados ya que de ellos dependerá la eficiencia en los procesos que se desarrollan dentro de la empresa.

Humano
Corresponde al personal con que cuenta la compañía o empresa para desarrollar las actividades con apoyo de los recursos tecnológicos, así la cantidad de recursos humanos con que cuente la empresa dependerá en gran parte del nivel de producción que ésta maneje.

Asignación y agotamiento de recursos

Una empresa turística considera incrementar su personal de promoción. El costo marginal de la incorporación de dicho personal está dado por:
C'(x)=3Lnx

En donde el costo C(x) está dado en unidades que representan 10000 unidades monetarias y x es el número de personas que se van a contratar. Si se contratan 10 personas, ¿cuál es será el costo total si no hay costos fijos?
Solución: Para encontrar la función de Costo Total es necesario  integrar a la función de costo marginal:
C(x)=∫C'(x)=∫dC=∫3Lnx dx
Así, utilizando la integración por partes, se tiene:
Y como los costos fijos son cero:
C(x)=3Lnx-3x

Y como quieren contratar a 10 nuevas personas, entonces:
C(10)=3(10)Ln10-3(10)=39.08 unidades.

O lo que es lo mismo:
(39.08 unidades)(10000)=390800 unidades monetarias.

Inventarios
El Inventario representa a las existencias de cualquier artículo, material o recurso utilizado en una organización para los procesos de fabricación y/o distribución.
Cuando se manejan inventarios puede haber 3 tipos de costos:

Costos de compra
Debidos a la compra de artículos o materia prima, para adquirir mercancía como respaldo ante una posible escasez o desabasto en el Mercado.

Costos de tener
Se genera cuando se requiere mantener un nivel satisfactorio de materia prima o producto terminado e incluye costos de manejo, daños y pérdidas provocadas por el manejo de los artículos, fletes, papelería y todos los requerimientos de registro de almacén y reposición de mercancía utilizada.

Costos de mantenimiento
Los generados por tener un artículo en inventario, incluye costos de capital invertido, de deterioro, obsolescencia, robos, impuesto y seguros, así como espacio, instalación, depreciación del edificio y equipo de almacén, etc.

Cierre de Unidad

Has concluido el estudio de la unidad y, con ello, la asignatura. ¡Felicidades!
La unidad cuatro establece los principios del cálculo integral para que puedas utilizarlos en la solución de problemas relacionados con utilidades, asignación de recursos e inventarios, temas de gran importancia dentro del área de las matemáticas financieras.
Finalmente, durante toda la asignatura revisaste algunas aplicaciones del cálculo que te ayudarán a solucionar problemas relacionados con el ámbito laboral.

Recursos de apoyo para el aprendizaje
Las matemáticas (2008). Cálculo de la integral racional.


Bibliografía básica:
• Chiang. (2006). Métodos fundamentales en economía matemática. (4° Edición). México: Editorial McGraw-Hill
• Harshbarger, R. J. y Reynolds, J. J. (2005). Matemáticas Aplicadas a la Administración, Economía y Ciencias Sociales. (7° Edición)., México: McGraw-Hill.
• Leithold, L. (2006). El cálculo. (7ª Edición). Oxford: Editorial Cúspide.
• Render, B., Stair, R. M. y Hanna, M. E. (2006). Métodos cuantitativos para los negocios. México: Pearson Educación.
• Thomas. (2006). Cálculo de una Variable. Editorial Prentice Hall.

Bibliografía complementaria:
• Cissell, R., Cissell, H. y Flaspohler, D. C. (1999). Matemáticas Financieras. (2ª edición). México: Editorial CECSA.
• García, E. (1998). Matemáticas Financieras por medio de Algoritmos, Calculadora Financiera y PC. México: Editorial McGraw-Hill.
• Hernández, A. (1998). Matemáticas Financieras Teoría y Práctica. (4ª edición). México: Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales.
• Motoyuki, A. (2000). Matemáticas Financieras. Córdoba, Argentina: Despeignes Editora.  Spiegel, M. R. (1994). Manual de Fórmulas y Tablas Matemáticas. México: McGraw-Hill.  Toledano y Castillo, M. A. y Himmelstine de Chavarria, L. E. (1984). Matemáticas Financieras. México: Editorial CECSA.
• Vidaurri, H. M. (2001). Matemáticas Financieras. (2ª edición). México: Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales - Thomposn Learning.

Temario de cálculo integral de Math2me 

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