Resumen del curso propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un Ambiente Virtual.
Eje 2. Razonamiento lógico matemático.
Cuando resolvemos un problema, podemos llamar a la solución: conjetura; una hipótesis (conclusión no demostrada) fundamentada en la observación repetida de un proceso o patrón determinado.
El razonamiento inductivo, que se define como obtener una conclusión general o conjetura, depende de dichas observaciones repetidas en ejemplos específicos. Tal conclusión puede llegar a ser verdadera o no, y como la demostración de soluciones a estos ejemplos puede también ser falsa encontrando un ejemplo que lo refute (o sea: un contraejemplo).
Usemos nuestra inducción:
Conjetura: Todos los números primos son impares.
Ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...
Si observamos el conjunto de números, todos son primos pero no todos impares, por lo que podemos crear un contraejemplo para refutar la conjetura.
Contraejemplo: El número 2 es un número primo, pero no un número impar.
Premisa 1: Alberto tiene 25 años, vive en el D.F. y siempre vota por partidos de izquierda.
Premisa 2: Juan tiene 23 años, vive en el D.F. y siempre vota por partidos de Izquierda.
Premisa 3: Alejandro tiene 22 años, vive en el D.F. y siempre vota por partidos de izquierda.
Conclusión: Los ciudadanos entre 20 y 25 años que viven en viven en el D.F. siempre votan por partidos de izquierda.
La conclusión anterior puede ser refutada, es decir, demostrarse su falsedad con sólo encontrar a una persona de entre 20 y 25 años, que radique en el D.F. y que no vote por un partido de izquierda, el cual sería un Contraejemplo. Es un hecho que no todas las personas entre 20 y 25 años que vivan en el D.F., votarán por partidos de izquierda.
Por lo que no hay que aceptar una verdad como absoluta, en tanto que no se demuestre de manera formal por medio del razonamiento deductivo.
El razonamiento deductivo inició con los matemáticos griegos, como revelan los trabajos de Pitágoras, Arquímedes, Euclides, et. Al., quienes aplicaron conceptos generales a problemas específicos, lo que dio como resultado un desarrollo lógico y estructurado de las matemáticas.
Un razonamiento deductivo se define como la aplicación de principios generales a ejemplos específicos. Por lo que no hay que dejar de lado el razonamiento inductivo, pues nos lleva a resolver de manera parcial o total algunos problemas.
Ejemplo de Razonamiento deductivo
Premisa 1: Todos los panecillos tardan una hora en hornearse.
Premisa 2: Son las 2 de la tarde y Adriana mete los panecillos al horno.
Conclusión: Los panecillos estarán listos a las 3:00 pm.
Confrontemos los dos tipos de razonamientos, en los cuales se utilizarán los números naturales o números cardinales.
Considera la siguiente secuencia de números: 1, 8, 15, 22, 29.
¿Cuál es el número que sigue en la lista?
Si observamos patrón, vemos que:
1+7= 8
8+7=15
15+7=22
22+7=29
De modo si utilizamos la observación, determinaremos que el número siguiente de la secuencia es 36, puesto que 29+7=36. Claro, esto usando el razonamiento inductivo.
¿Qué pasa si se presenta otra respuesta, por ejemplo, se relaciona con las fechas de los meses junio y julio?
El razonamiento inductivo, que se define como obtener una conclusión general o conjetura, depende de dichas observaciones repetidas en ejemplos específicos. Tal conclusión puede llegar a ser verdadera o no, y como la demostración de soluciones a estos ejemplos puede también ser falsa encontrando un ejemplo que lo refute (o sea: un contraejemplo).
Usemos nuestra inducción:
Conjetura: Todos los números primos son impares.
Ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...
Si observamos el conjunto de números, todos son primos pero no todos impares, por lo que podemos crear un contraejemplo para refutar la conjetura.
Contraejemplo: El número 2 es un número primo, pero no un número impar.
Premisa 1: Alberto tiene 25 años, vive en el D.F. y siempre vota por partidos de izquierda.
Premisa 2: Juan tiene 23 años, vive en el D.F. y siempre vota por partidos de Izquierda.
Premisa 3: Alejandro tiene 22 años, vive en el D.F. y siempre vota por partidos de izquierda.
Conclusión: Los ciudadanos entre 20 y 25 años que viven en viven en el D.F. siempre votan por partidos de izquierda.
La conclusión anterior puede ser refutada, es decir, demostrarse su falsedad con sólo encontrar a una persona de entre 20 y 25 años, que radique en el D.F. y que no vote por un partido de izquierda, el cual sería un Contraejemplo. Es un hecho que no todas las personas entre 20 y 25 años que vivan en el D.F., votarán por partidos de izquierda.
Por lo que no hay que aceptar una verdad como absoluta, en tanto que no se demuestre de manera formal por medio del razonamiento deductivo.
El razonamiento deductivo inició con los matemáticos griegos, como revelan los trabajos de Pitágoras, Arquímedes, Euclides, et. Al., quienes aplicaron conceptos generales a problemas específicos, lo que dio como resultado un desarrollo lógico y estructurado de las matemáticas.
Un razonamiento deductivo se define como la aplicación de principios generales a ejemplos específicos. Por lo que no hay que dejar de lado el razonamiento inductivo, pues nos lleva a resolver de manera parcial o total algunos problemas.
Ejemplo de Razonamiento deductivo
Premisa 1: Todos los panecillos tardan una hora en hornearse.
Premisa 2: Son las 2 de la tarde y Adriana mete los panecillos al horno.
Conclusión: Los panecillos estarán listos a las 3:00 pm.
Confrontemos los dos tipos de razonamientos, en los cuales se utilizarán los números naturales o números cardinales.
Considera la siguiente secuencia de números: 1, 8, 15, 22, 29.
¿Cuál es el número que sigue en la lista?
Si observamos patrón, vemos que:
1+7= 8
8+7=15
15+7=22
22+7=29
De modo si utilizamos la observación, determinaremos que el número siguiente de la secuencia es 36, puesto que 29+7=36. Claro, esto usando el razonamiento inductivo.
¿Qué pasa si se presenta otra respuesta, por ejemplo, se relaciona con las fechas de los meses junio y julio?
Junio
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|||||||||
Lu.
|
Ma.
|
Mi.
|
Ju.
|
Vi.
|
Sá.
|
Do.
|
|||
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
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8
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9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
|||
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
|||
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
|||
29
|
30
|
29
|
30
|
||||||
Julio
|
|||||||||
Lu.
|
Ma.
|
Mi.
|
Ju.
|
Vi.
|
Sá.
|
Do.
|
|||
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
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6
|
7
|
8
|
9
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10
|
11
|
12
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13
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14
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15
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16
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17
|
18
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19
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20
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21
|
22
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23
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24
|
25
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26
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27
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28
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29
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30
|
31
|
|||||
La secuencia quedaría de manera diferente:
1, 8, 15, 22, 29, 6, 13, 20, 27
El patrón sigue siendo 7, pero el consecutivo
cambia. Ésta es una muestra de una falla en la conclusión partiendo únicamente
del razonamiento inductivo, que en este caso garantiza la verdad, aunque sí lo
hizo en el ejemplo anterior. El razonamiento inductivo no garantiza un
resultado verdadero, pero ofrece los medios para hacer una conjetura.
El razonamiento de un problema normalmente
requiere de algunas premisas, lo cual puede ser un supuesto, una ley, un
teorema, una definición matemática, observación o idea. Después, con el
razonamiento inductivo o deductivo, se puede obtener la solución, misma que se
vuelve un argumento lógico.
Podemos concluir que el razonamiento inductivo
se utiliza con frecuencia para predecir la respuesta de ejercicios de cálculo,
como se muestra en el siguiente ejemplo.
Predice la multiplicación y el producto que
sigue en esta lista de operaciones:
21 × 5 = 105
21 × 8 = 168
21 × 11 = 231
21 × 14 = 294
Primero, debemos identificar que el 21 se
repite en todas las operaciones; en tanto que en el segundo factor, el
incremento entre 5 y 8 es 3, por lo tanto, la siguiente multiplicación sería:
21 × 17 = 357
Por lo cual puede ser verdadero, esto depende
del contexto, como en el caso del calendario.
En matemáticas no podemos simplemente guiarnos
por observaciones, necesitamos argumentos lógicos y rigurosos que demuestren la
veracidad del proceso.
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