Una proposición molecular es una tautología si es cierta cualesquiera que sean los valores de la certeza de las proposiciones atómicas que la componen. En una tautología se pueden sustituir sus proposiciones atómicas por otras proposiciones atómicas cualesquiera, ciertas o falsas, y la proposición es también cierta. Por ejemplo, para cualquier proposición atómica P.
P⋁¬P
Es una tautología. Si P es cierta, entonces P⋁¬P es cierta. Además, si es falsa, entonces P⋁¬P es también cierta.
Se puede representar mediante una tabla de verdad.
| P | P | P⋁¬P |
| C | F | C |
| F | C | C |
En una tabla de verdad, si una proposición es una tautología, entonces cada línea ha de tener una C en la columna encabezada por ella, lo que indica que la proposición es siempre cierta independientemente de las combinaciones de los valores de certeza de sus composiciones atómicas. Se ha de recordar que en cada caso en particular una proposición atómica tiene el mismo valor de certeza cada vez que se presenta dentro de una proposición molecular. Si P se presenta más de una vez en una proposición particular, entonces no puede ser cierta en un caso y falsa en otro. Si es falsa cada vez que se presenta, y si es cierta, entonces es cierta cada vez que se presenta.
¿Es la proposición P⋁Q⇒P una tautología? Para responder esta cuestión se puede construir una tabla de verdad.
En esta tabla se obtiene la tercera columna de las dos primeras en virtud de la regla práctica para las disyunciones. Se obtiene la última columna de la primera y la tercera en virtud de la regla práctica para condicionales. Si la proposición sugerida es una tautología ha de tener una C en cada línea de la cuarta columna. La letra F de falso en la tercera línea muestra que P⋁Q⇒P no es una tautología, pues la combinación de ser P falsa y Q cierta da lugar a la proposición P⋁Q⇒P que es falsa. La letra F, en una única fila de la columna encabezada por la proposición en cuestión es suficiente para demostrar que la proposición no es una tautología. Una definición de tautología es:
La noción de implicación es importante en el estudio de la validez de inferencias, pues cada ejemplo de inferencia proposicional puede expresarse como una implicación tautológica. Si la conjunción de las premisas es cierta, entonces la conclusión ha de ser cierta. Por lo tanto, a cada razonamiento proposicional corresponde una condicional y a cada condicional corresponde un razonamiento. El razonamiento es válido si y sólo si la condicional corresponde a una tautología.
Para construir una condicional que corresponde a un razonamiento se ligan simplemente con ⋀ todas las premisas que es el antecedente, y después se pone la conclusión del razonamiento como consecuente, como en el siguiente ejemplo:
Demostrar R ⋀ S
Condicional correspondiente
Una manera de hablar de un razonamiento es diciendo que las premisas implican la conclusión. Cuando se dice que es una implicación tautológica se indica con razonamiento válido. Debido a esta correspondencia entre el razonamiento y su condicional, las proposiciones condicionales se consideran frecuentemente como implicaciones tautológicas.
La regla de la inferencia del modus ponendo ponens, considerada como una implicación tautológica, presenta la forma:
Otra implicación tautológica es:
Se puede demostrar si un ejemplo calquiera de inferencia proposicional es válido, expresando la inferencia como una condicional y determinando por medio de una tabla de verdad si esta condicional es o no tautológica. Si la implicación tautológica, entonces la inferencia es válida. Recuérdese que la implicación que se ha escrito tiene como antecedente la conjunción de todas las premisas y como consecuente la conclusión. Un ejemplo de comprobación de validez por tabla de verdad, donde la inferencia es la del modus tollendo tollens es:
La implicación que aparece en la última columna es una implicación tautológica, pues se ve que cada fila en esta columna tiene una C. Si la implicación es una tautología, entonces la inferencia que deduce ¬P de las premisas P⇒Q y ¬Q es una inferencia válida.
¿Es la proposición P⋁Q⇒P una tautología? Para responder esta cuestión se puede construir una tabla de verdad.
| P | Q | P⋁Q | P⋁Q⇒P |
| C | C | C | C |
| C | F | C | C |
| F | C | C | F |
| F | F | F | C |
En esta tabla se obtiene la tercera columna de las dos primeras en virtud de la regla práctica para las disyunciones. Se obtiene la última columna de la primera y la tercera en virtud de la regla práctica para condicionales. Si la proposición sugerida es una tautología ha de tener una C en cada línea de la cuarta columna. La letra F de falso en la tercera línea muestra que P⋁Q⇒P no es una tautología, pues la combinación de ser P falsa y Q cierta da lugar a la proposición P⋁Q⇒P que es falsa. La letra F, en una única fila de la columna encabezada por la proposición en cuestión es suficiente para demostrar que la proposición no es una tautología. Una definición de tautología es:
Una proposición es una tautología si y sólo si permanece cierta para todas las combinaciones de asignaciones de certeza atribuidas a cada una de sus distintas proposiciones atómicas.Aunque también podría suceder una situación completamente contraria a la anterior en cuyo caso se tendría una contradicción y su definición sería:
Una proposición es una contradicción si y sólo si permanece falsa para todas las combinaciones de asignaciones de certeza atribuidas a cada una de sus distintas proposiciones atómicas.Un ejemplo de contradicción es la proposición P⋀¬P. Para demostrarlo se emplea una tabla de verdad:
| P | P | P⋀¬P |
| C | F | F |
| F | C | F |
Evaluación de la validez a través de la tabla de verdad
Una proposición P que implica tautológicamente una proposición Q si y sólo si la condicional P⇒Q es una tautología. Así, una implicación tautológica es una tautología cuya forma es la de una proposición condicional.La noción de implicación es importante en el estudio de la validez de inferencias, pues cada ejemplo de inferencia proposicional puede expresarse como una implicación tautológica. Si la conjunción de las premisas es cierta, entonces la conclusión ha de ser cierta. Por lo tanto, a cada razonamiento proposicional corresponde una condicional y a cada condicional corresponde un razonamiento. El razonamiento es válido si y sólo si la condicional corresponde a una tautología.
Para construir una condicional que corresponde a un razonamiento se ligan simplemente con ⋀ todas las premisas que es el antecedente, y después se pone la conclusión del razonamiento como consecuente, como en el siguiente ejemplo:
Demostrar R ⋀ S
- P
- P⇒Q
- ¬Q⋁(R⋀S)
Condicional correspondiente
P⋀(P⇒Q)⋀(Q⋁[R⋀S])⇒R⋀S
Por otra parte, si se desea construir el razonamiento para la condicional se escribe el consecuente como conclusión, y las diversas proposiciones cuya conjunción constituye el antecedente como las premisas de razonamiento.Una manera de hablar de un razonamiento es diciendo que las premisas implican la conclusión. Cuando se dice que es una implicación tautológica se indica con razonamiento válido. Debido a esta correspondencia entre el razonamiento y su condicional, las proposiciones condicionales se consideran frecuentemente como implicaciones tautológicas.
La regla de la inferencia del modus ponendo ponens, considerada como una implicación tautológica, presenta la forma:
(P⇒Q)⋀P⇒Q
El antecedente de la condicional es la conjunción de ambas premisas. El consecuente es la conclusión.Otra implicación tautológica es:
(P⇒Q)⋀Q⇒¬P
Se puede reconocer como expresión de la inferencia conocida por el modus tollendo tollens. EL antecedente es la conjunción de dos premisas P⇒Q y ¬Q, y el consecuente es la conclusión ¬P.Se puede demostrar si un ejemplo calquiera de inferencia proposicional es válido, expresando la inferencia como una condicional y determinando por medio de una tabla de verdad si esta condicional es o no tautológica. Si la implicación tautológica, entonces la inferencia es válida. Recuérdese que la implicación que se ha escrito tiene como antecedente la conjunción de todas las premisas y como consecuente la conclusión. Un ejemplo de comprobación de validez por tabla de verdad, donde la inferencia es la del modus tollendo tollens es:
P
|
Q
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¬P
|
¬Q
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P⇒Q
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(P⇒Q)⋀¬Q
|
(P⇒Q)⋀¬Q⇒¬P
|
C
|
C
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F
|
F
|
C
|
F
|
C
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C
|
F
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F
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C
|
F
|
F
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C
|
F
|
C
|
C
|
F
|
C
|
F
|
C
|
F
|
F
|
C
|
C
|
C
|
C
|
C
|
La implicación que aparece en la última columna es una implicación tautológica, pues se ve que cada fila en esta columna tiene una C. Si la implicación es una tautología, entonces la inferencia que deduce ¬P de las premisas P⇒Q y ¬Q es una inferencia válida.
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