Reglas de inferencia y equivalencia

Reglas de inferencia

Con frecuencia se aprende un juego nuevo un por ejemplo. Veamos algunos de inferencia antes de proseguir con las leyes formales. Se supone que se tienen dos premisas, la fórmula PQ y la fórmula P. Se sabe que estas premisas están dadas; se empieza diciendo que se ha dado P y que se ha dado PQ. ¿Se puede sacar una conclusión de estas dos suposiciones? Es decir, ¿se puede idear otra proposición que haya de ser cierta si las premisas sin ciertas? La conclusión es clara se se leen las premisas en la forma:
Si P entonces Q y P.
La primera proposición expresa que si se verifica P, entonces se verifica Q y la segunda verifica P. La conclusión es que se verifica Q. La proposición Q es consecuencia lógica de las premisas, P y PQ. Veamos ahora una inferencia de la misma forma, pero cuyo contenido se ha suplido por lenguaje corriente. La primera premisa es:
Si llueve, entonces el cielo ha de estar cubierto.
La segunda premisa es:
Llueve.
¿Qué conclusión se puede sacar de las dos premisas?
La respuesta es la conclusión: El cielo ha de estar cubierto. Se puede inferir lógicamente de las premisas dadas. Se discutirá a continuación la regla particular de inferencia que permite educir esta conclusión de las premisas.
La regla de inferencia aplicada en el ejemplo precedente tiene un nombre latino, modus ponendo ponens. Consideremos algunos ejemplos del uso de esta regla en la deducción de conclusiones a partir de premisas.
Premisa 1: Si él está en el partido de fútbol, entonces él está en el estadio.
Premisa 2: Él está en el partido de fútbol.
Conclusión: Está en el estadio.
Simbólicamente el primer ejemplo se expresa así:
P= Él está en el partido de fútbol.
Q= Él está en el estadio.
Entonces:
Premisa 1: PQ
Premisa 2: P
Conclusión: Q
Otro ejemplo del uso del modus ponendo ponens es el siguiente:
Premisa 1: Si no hace frío, entonces el lago no se congelará.
Premisa 2: No hace frío.
Conclusión: El lago no se congelará.
La regla de inferencia modus ponendo ponens  permitedemostrar Q a partir de P y P. Donde P es es la proposición Hace frío y Q El lago se congelará.
¬P¬Q
¬P
¬Q
En cada uno de los ejemplos la regla modus ponendo ponens permite pasar de dos premisas a la conclusión. Decir que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas, es decir, que siempre que las premisas son ciertas, la conclusión es también cierta. La regla de inferencia aprendida dice que si se tienen dos proposiciones de la forma PQ y P se puede deducir la conclusión Q.
Recuérdese que la regla se aplica a la forma de las proposiciones, o sea, que siempre que se dé una proposición condicional y se dé precisamente el antecedente de aquella condicional, se niegue precisamente el consecuente. La misma regla se aplica tanto si el antecedente es una proposición atómica o molecular y tanto si el consecuente es una proposición atómica o molecular. En la proposición anterior el antecedente  el consecuente son proposiciones moleculares. La segunda premisa afirma el antecedente que es, ¬P. Por tanto, el consecuente sigue de la regla modus ponendo ponens.
A continuación se presenta una tabla que reúne todas las reglas de inferencia cuya validez puede ser evaluada mediante las tablas de verdad.

Regla Nombre
PQ
P

Q
Modus ponendo ponens
PQ
¬Q

P
Modus tollendo tollens
PVQ.........PVQ
¬P............¬Q

Q............P
Modus tollendo ponens
PQ............PQ
P...................Q
P...................P
Q..................Q

PQ............QP
Regla de simplificación
P....................P
Q...................Q

PQ............QP
Regla de adjunción
PQ
QR


PR
Ley del silogismo hipotético
P............Q

PQ......PQ
Ley de adición
PP

P
Ley de la simplificación disyuntiva
PQ......PQ
PR........PR
QS........QS

RS........SR
Ley del silogismo disyuntivo
Regla de equivalencia
Dos proposiciones son lógicamente equivalentes si en cualquier posible asignación de certeza las dos tienen el mismo valor de certeza . Esto se puede ver mediante una tabla de verdad. Se considera P y ¬P
P¬P¬¬P
CFC
FCF
Esta tabla indica que en cualquier línea P y ¬¬P son ambas ciertas o ambas falsas. En ningún caso es una cierta y otra falsa. Por tanto, son lógicamente equivalentes. A continuación se utiliza una tabla de certeza para comprobar la equivalencia de A¬B y ¬(¬AB).

A B ¬A ¬B ¬AB ¬(AB) A¬B
C C F F C F F
C F F C F C C
F C C F C F F
F F C C C F F

Comparando las dos últimas columnas línea a línea se ve que bajo la misma asignación de certeza (en cualquier línea) tienen el mismo valor de certeza, ambas ciertas o ambas falsas. Así se sabe que son lógicamente equivalentes.
La siguiente tabla contiene todas las leyes de equivalencia las cuales pueden ser verificadas con tablas de verdad a igual que en el ejemplo anterior.

Leyes Nombre
PF=P
PC=P
Leyes de identidad
PC=V
PF=F
Leyes de dominación
PP=P
PP=P
Leyes de idempodencia
 ¬(¬P)=P Ley de doble negación
PQ=QP
PQ=QP
Leyes acumulativas
P⋁(QR)=(PQ)R
P⋀(QR)=(PQ)
Leyes asociativas
 P⋁(QR)=(PQ)⋀(PR)
P⋀(QR)=(PQ)(PR)
Leyes distributivas
¬(PQ)=¬P¬Q
¬(PQ)=¬P¬Q
Leyes de Morgan
 PQ=¬PQ Condicional
 PQ=(PQ)(QP) Bicondicional

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