Función exponencial natural


Esta función es de vital importancia en áreas como los negocios, finanzas, astronomía, tecnología acústica y electrónica. Vamos a definir: si b es un número real positivo (b ∈ R+), la función que a cada elemento real “X” le asocia la potencia bx se le llama función exponencial. Se representa como:
F(x)=bˣ
Donde la base “b” es mayor que cero y b no es igual a 1.
b>0 y b≠1
La variable independiente equis pertenece a los números reales porque si la base comprende valores entre uno y cero pasa esto:

En F(x)=1ˣ vemos que ya no corresponde a la gráfica de una función exponencial, sino la gráfica de una función constante que corta al eje f(x) en uno.

Si b es cero, F(x)=0ˣ, fíjate que ya no tenemos gráfica exponencial.

Cuando el exponente equis es positivo vemos que la gráfica corta a la gráfica f(x) y que es una función creciente.

Cuando el exponente equis es negativo observa que la función es decreciente para valores de equis negativo.

Número e

Este es uno de esos números que aparecen en los lugares menos insospechados. Lo que podría sorprenderte es que a este número se le represente con una letra.
número es sumamente importante para el estudio de los logaritmos naturales y otras funciones. A este nivel podemos decir que es el valor que toma la expresión uno más uno partido en equis, elevado a la equis cuando equis toma valores muy grandes.


Para valores demasiado grandes podemos usar el número e, que es un número irracional como π, (3.14159265358…) o φ, (0.61803398874...) donde e vale: e=2,71828182845...
La función exponencial natural se define entonces como
f(x) =eˣ
Donde e es un número irracional y la variable independiente equis es un número real.
El número e se emplea como base de logaritmos naturales y es importante porque participa en muchas situaciones que moldean planteamientos de tipo exponencial.

Concepto intuitivo de logaritmos naturales

Un logaritmo siempre tiene una base positiva, pero para el caso cuando esta base es igual al número e (2,7182…). Entonces LogeX que podemos simplificar como LnX
LogeX=LnX
Todas las propiedades que tenga LogeX van a ser las mismas que LnX, porque es un logaritmo simplificado con base e.
Para el caso de un logaritmo con base tres del número ochenta y uno se resolvería de la siguiente manera:
Log381=?
Por definición el signo de interrogación se debe comprender que la base del logaritmo (tres) elevado a un exponente que no lo conocemos, debe ser igual al número que tiene el logaritmo (ochenta y uno)
Log381=? ←→ 3?=81
En base a esta igualdad vamos a resolver cuánto vale el exponente. Ochenta y uno lo podemos representar como tres a la cuatro, es decir es decir tres por tres por tres por tres.
Log381=? ←
→ 3?=81
3?=3
?=4
Con esto ya resolvemos que el exponente que falta en el lado izquierdo debe ser igual a cuatro: Log381=4 ←. Así resolveríamos que cuatro es la respuesta a este logaritmo.
Para el caso del logaritmo natural del número nueve (Ln9), recordemos que también se puede representar como logaritmo con base e del número nueve (Loge9).
Ln9 → Loge9
Como ya se puede observar la base podemos aplicar la definición anterior, donde la base e elevada al exponente que andamos buscando (e?) nos debe dar nueve.
Loge9= ? ←
→ e?=9
Recordemos que nueve se puede representar como tres por tres y el número e truncado en cuatro cifras es 2,7182 elevándolo al signo de pregunta.
Loge9= ? ←
→ e?=9
(2,7182) ?=32
Así que por comparación, si tenemos que multiplicar tres por tres para tener nueve aquí multiplicando dos veces 2,7182 no vamos a llegar a nueve. Por lo tanto nuestro exponente debe ser mayor a dos, para alcanzar a acercarnos al nueve tenemos que multiplicarlo aproximadamente 2,2, no es un tres porque de hacerlo nos resultaría 20,083723072568 y tenemos que llegar a nueve.
Loge9= 2,2 ←
→ e?=9
(2,7182) ?=32
?>2
Un logaritmo natural muy importante de conocer es el logaritmo natural del número e
LneLogee =?
Por el momento no sabemos la respuesta, pero lo que sí sabemos es que la base del logaritmo, al exponente que andamos buscando debe ser igual al número e que aparentemente no tiene exponente pero no olvides que siempre será uno.
Logee= ? ←
→ e?=e¹
De esta manera, por comparación sabemos que debe tener el lado izquierdo de la ecuación debe ser igual a uno para que sean iguales. Así que la respuesta del logaritmo natural de e es uno.
Logee= 1 ←
→ e?=e¹
?=1
Por último, un logaritmo natural utilizado es el logaritmo natural del número uno el cual resulta ser cero como veremos:
Ln1 → Logee =?
Loge1= 0 ←
→ e0=1
?=0

Crecimiento o decrecimiento en base e

Nuestras funciones exponenciales naturales tendrán como base el número e y lo representaremos con la siguiente función: f(x)=Aeᵏˣ
Si k>0, la función es creciente y si k<0, la función es decreciente.
En finanzas, cuando una cierta cantidad de dinero (C) se capitaliza continuamente, se emplea la función exponencial natural para determinar el monto total (C), al cabo de un cierto tiempo (t) con una tasa de interés (r), la expresión se reflejará así:
C(t)=Cert
Tabla de fórmulas
Forma general
Forma aplicada para decrecimiento
Forma aplicada para crecimiento
f(x)=Abˣ
P(t)=P(1-r)
P(t)=P(1+r)
f(x)=Aeᵏˣ
P(t)=Pet
P(t)=Pe

Ejemplo 1:
Si son invertidos $1000 a una tasa anual del 7%, capitalizado continuamente; ¿cuál será el monto al final de 3 años?
Se sustituye la función continua de capitalización
C(t)=Ceʳᵗ
Donde:
C=1000
r=0,07
t=3
Sustituimos y resolvemos:
C(t)=1000e(⁰,⁰⁷)(³)
C(t)=1000e⁰,²¹
C(t)=1000(2,71828182845)⁰,²¹
C(t)= 1000(1,2336780599559
C(t)=1233,6780599559



Ejemplo 2:
Un banco paga 8% anual de interés, si se deposita la cantidad de $25,000, calcular:
a) ¿Cuánto dinero habrá después de 10 años si se capitaliza anualmente?
Fórmula


C(t)=C₀(1+r)
C0=$25,000
r=8%
t=10 años


Sustitución:
C(10)=25000(1+0.08)¹⁰
C(10)=25000(1.08)¹⁰
C(10)=25000(2,1589249972728)
C(10)=53973,124931819667456
b) ¿Cuánto dinero habrá después de 10 años si se capitaliza continuamente?
Fórmula


C(t)=C0ert
C0=$25,000
r=8%
t=10 años


Sustitución:
C(10)=25000e(⁰,⁰⁸)(10)
C(10)=25000e⁰,⁸
C(10)=25000(2,71828182845)⁰,⁸
C(10)=25000 (2,2255409284865431146928989584018)
C(10)=55638,523212163577867322473960045


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