Lugar geométrico


En geometría analítica significa determinar la curva de un cuerpo o superficie de una ecuación. Es un conjunto de puntos en el plano cartesiano que cumplen vierta condición. La condición que deben cumplir un conjunto de puntos se indica por medio de una relación, la cual escribiremos mediante la siguiente notación:

R={(x,y) | E (x,y)= 0}

Que se lee: La relación R igual al conjunto de todas las parejas ordenadas (x,y) tales que satisfacen la condición E(x,y)= 0. Aquí la expresión E(x,y)= 0, representa alguna ecuación en dos variables o incluso, el signo de igualdad puede cambiarse por una desigualdad y representar una inecuación.



Tomando como ejemplo el siguiente video superior realizaremos el primer ejercicio:






















Segmentos rectilíneos: dirigidos y no dirigidos

A la porción de un línea recta entre dos de sus puntos se llama segmento rectilíneo. Los dos puntos se llaman extremos del segmento y se consideran parte de éste.
-q---p-
 A    B

Habíamos dicho que una línea recta es una sucesión de puntos que puede llegar hasta el infinito, nosotros a veces necesitamos un segmento de recta nada más, para eso tenemos que definir dos puntos: uno inicial y otro final. Hay segmentos dirigidos y otros que no. Si uno lo es, tenemos que especificar esos dos puntos, puede ser de A a B, así que AB es igual a -BA.


Distancia entre dos puntos del plano

La distancia entre dos puntos ubicados en un sistema coordenado rectangular se determina por la longitud del segmento que los une. Supongamos que A(x₁,y₁) y B(x₁,y₁), son dos puntos situados en el plano.

La distancia que hay entre estos dos puntos es la longitud del segmento que los une y determina a través de la siguiente fórmula.

d=√(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²

La distancia entre estos dos puntos algunas veces la denotaremos mediante la letra d minúscula y otras veces mediante la expresión d(A,B), donde se indican entre paréntesis los puntos a los cuales se les calcula su distancia. Esta notación es ideal cuando se involucran cálculos de distancias entre dos puntos de un mismo plano.


Calcula la distancia entre los siguientes puntos del plano A(-1,-3) y B(-5,6)

Perímetro y área de un triángulo en el plano

Perímetro: para calcular el perímetro de un triángulo en el plano cartesiano bastará conocer las coordenadas de sus vértices. Así aplicando la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos, se calculan las longitudes de cada uno de los lados del triángulo. El perímetro se obtiene sumando esas longitudes.
Área: Para encontrar el área de un triángulo trazado en un sistema coordenado rectangular emplearemos la Fórmula de Herón, ya que esta fórmula está dada en términos del perímetro y las longitudes de los lados del triángulo. Esta fórmula es muy práctica y no requiere conocer el valor de alguna de las alturas del triángulo. La fórmula es la siguiente:

A= √s(s-a)(s-b)(s-c)

Donde A: representa el área del triángulo, a,b,c: son las longitudes de los lados y s: es la mitad del valor de su perímetro, esto es:
s=a+b+c
2
Calcular el perímetro y áre de un triángulo cuyos vértices se encuentran en los siguientes puntos del plano coordenado: A(2,5); B(4,-3) y C(-3,-2)
Calculemos las longitudes de cada uno de los lados del triángulo: x₁, y₁, x₂, y₂

Primero el punto A(2,5) al B(4,-3)
d(A,B)=√(4-2)²+(-3-5)²
d(A,B)=√(2)²+(-8)²
d(A,B)=√4+64
d(A,B)=√68
d(A,B)=8,2462112512353

Del punto B(4,-3) al punto C(-3,-2)
d(B,C)=√(-3-4)²+(-2-(-3))²
d(B,C)=√(-7)²+(1)²
d(B,C)=√49+1
d(B,C)= 7,0710678118655

Del punto C(-3-2) al punto A(2-5)
d(C,A)=√(2-(-3))²+(5-(-2))²
d(C,A)=√(5)²+(7)²
d(C,A)=√25+49
d(C,A)=√74
d(C,A)= 8,6023252670426

Así el perímetro del triángulo está dado por la suma de estas longitudes:
P= 8,2462112512353+7,0710678118655+8,6023252670426= 23,9196043301434
Mientras que el área se obtiene mediante la fórmula: A= √s(s-a)(s-b)(s-c)
Tomando 23,91960= 11,95980; A=7,07106; B=8,60232; C=8,24621 y sustituyendo.
. . 2
A=√11,95980 (11,95980-7,07106)(11,95980-8,60232)(11,95980-8,24621)
A=√11,95980 (4,88874)(3,35748)(3,71359)
A=√729,0012042016938342864
A=√27,000022300022158209224877362671

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