¿Cuál es el resultado de haber sustituido el valor 8a+2k en lugar de x en la siguiente función? f(x)=4x+5k

Lo que tenemos que recordar para sustituir un valor, es identificar a  la variable independiente que nos indica la función en (x). Por ejemplo si la función nos indicara otro valor como 5:

f(x)=4x+5k

Entonces sustituiríamos las x por el valor 5

f(5)=4(5)+5k

Recordemos que números con números se multiplican lo que nos resultaría:

f(5)=20+5k

Una vez que recordamos cómo sustituir en una función ahora sí, apliquemos 8a+2k a la función f(x)=4x+5k

F(8a+2k)=4(8a+2k)+5k

Simplificamos

32a+8k+5k

Lo que sigue es sumar o restar términos semejantes:

f(8a+2k)=32a+13k

Ahora, dada la función f(y) cómo podemos hallar F(y+h) en f(y)=y²-2y+6

Antes de probar que: f(y+h)=y²-2y+6+2(y-1)h+h²

Necesitamos imaginar que la función vale (☆), simplemente donde antes estaba la (y) sustituimos:

f(☆)=(☆)²-2(☆)+6

Entonces cómo se miraría si en vez de la ☆ sustituímos con el valor indicado y+h

f(y+h)=(y+h)²-2(y+h)+6

Pero no se parece a f(y+h)=y²-2y+6+2(y-1)h+h² por lo que tenemos que hacer un binomio al cuadrado que recordando apuntes pasados, en caso de:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(a-b) =  a² + 2ab - b²

Como segundo recordatorio: en las potenciaciones y otras operaciones, si la potencia es par dará positivo, si la potencia es impar será negativo.

De la expresión f(y+h)=(y+h)²-2(y+h)+6 tomamos (y+h)² lo que nos resultará:

(y+h)²= (y+h)(y+h)=y²+2yh+h²

Ahora bien, en la expresión f(y+h)=(y+h)²-2(y+h)+6  es necesario separar términos para saber quién multiplica, resta o suma a quién:

(y+h)² es el pimer término cuya operación es el binomio al cuadrado y²+2yh+h²

-2(y+h) segundo término cuya operación resulta -2y-2h

+6 tercer término que solamente se baja quedando así:

f(y+h)=y²+2yh+h²-2y-2h+6

Vamos a acomodar este resultado de manera que se parezca a f(y+h)=y²-2y+6+2(y-1)h+h² y tenemos que desarrollarlo, el término +6 multiplica el interior del paréntesis en +2(y-1)h = 6y-2

pero aún falta multiplicar la h= 2yh-2h

Eliminamos los términos semejantes y así encontramos f(y)=y²-2y+6