Relaciones y funciones

Concepto de función y relación

Función: Relación o correspondencia entre dos cantidades o conjuntos ordenados (x,y) donde el primer elemento no se repite. Cuando se da entre los elementos de dos conjuntos, es necesario establecer una regla de correspondencia que indique de qué forma se pasa de los elementos de un conjunto a los del otro.

Relación: correspondencia de un primer conjunto llamado dominio, con un conjunto llamado recorrido o rango, de manera que cada elemento del dominio le corresponde uno o más elementos del recorrido o rango. En otras palabras: es la razón cociente de dos cantidades.

Para entender esto un poco más, lo representaremos gráficamente:

Vamos a suponer que tenemos una máquina que fabrica latas de equis, dependiendo de la cantidad de equis que le coloques, la máquina arrojará una lata de determinado tamaño. Si agregas un kilo saldrá una lata de un kilo, si viertes más de un kilo el tamaño de la lata será más grande. No es posible que la máquina arroje una lata de dos kilos cuando has vertido uno.

A eso básicamente se le llama función: a una entrada le corresponderá siempre una salida. Si tú colocas un kilo o tres kilos corresponderá al tamaño de la lata, pero nunca puedes verter tres kilos y esperar una lata de un kilo.

X	F (x)	Resultado
1 kg	▌1kg	√
1 kg	█3kg	√
3 kg	▌1kg	✖

Sin embargo en la relación, sabes que la lata de tres kilos sí la puedes utilizar para consumir medio, uno, dos o tres kilos en una rica sopa de letras.

En una función se utiliza una variable que se llama independiente o dominio y otra llamada dependiente, que también puede llamarse también recorrido o rango.

Variable Independiente Dominio	Variable dependiente Recorrido Rango.
X	F (x)

En este caso las equis son la variable independiente, pues obedeciendo a la cantidad que vertamos a la máquina, influiremos en el resultado del tamaño de las latas o sea, la variable dependiente, recorrido o rango.

Una vez que tenemos una correspondencia entre los grupos procederemos a ordenarlos.

x	F (x)	Correspondencia
1 kg	▌1kg	(1 kg, ▌1kg)
3 kg	█ 3kg	(3 kg, █ 3kg)
5 kg	█▌5kg	(5 kg, █▌5kg)
0,7 kg	▌1kg	(0,7 kg, ▌1kg)

En esta comparación veremos que en la variable independiente encontraremos elementos que no se van a repetir, al agregar en la variable independiente “0,7 kg” el elemento no se repite en la variable independiente, mas sí e repite el elemento “▌1kg” dos veces.

Funciones aplicadas a las ecuaciones

Un ejemplo típico de función es una ecuación de primer grado:

y=5x-3

Nos damos cuenta que “5x” representa la variable dependiente, o sea, la entrada que le vamos a dar a nuestra máquina de equis, y dependiendo dicha entrada que vamos a verter en la máquina, influirá en el resultado de “y” que es la variable dependiente. Por lo que procederemos a tabular de la siguiente manera:

Propondremos valores aleatorios a x para poner a trabajar nuestra máquina, por ejemplo -3, 0 y 2. En el lugar donde está escrito x [y=5(?)-3] anotaremos los valores propuestos:

x	Y
-3	-18
0	-3
2	7

y=5(-3)-3= -15 -3= -18

y=5(0)-3= 0 -3= -3

y=5(2)-3= 10-3= 7

De esta forma ya podemos formar nuestras parejas ordenadas:

(-3,-18)

(0,-3)

(2,7)

Esto es un ejemplo que demuestra la procedencia de la tabla por la función y=5x-3.

Representaciones en el plano cartesiano

Ya que sabemos que tenemos conjuntos de pares ordenados y que el primer elemento no se repite. ¿Cómo puedes descubrir con simplemente ver una gráfica, si ésta corresponde o no a una función?

Para expresarlo en el plano cartesiano observaremos estas tres figuras:

En fig. 1 elegimos el punto 3,-1, al asignarle en “x” el valor 3 y en y -1 podremos darnos cuenta que a “x” correspondería un único punto, por lo que Fig. 1 sí es función. Sin embargo, al elegir en fig. 2 en los puntos: (-4,3) y (4,3); así como en fig. 3 los puntos: (-2,4) y (2,4), al trazar la línea vertical punteada descubrimos que en ambos casos, en el eje de las “x” hay elementos que se repiten: el punto 4 en Fig. 2 y el punto 2 en Fig. 3. Por lo tanto Fig. 2 y 3 no son funciones.