Propiedades de las ecuaciones y su resolución

Definición de ecuación:
Una ecuación es una relación de igualdad que contiene al menos una variable representada de forma literal:
3x + 2 = 5
Se compone de una variable, en este caso x representa un número o cantidad en una expresión matemática. en el ejemplo dado no es 3x sino solamente la x. Nuestro objetivo va a ser obtener qué representa x, un número que multiplicado tres veces y luego sumado con dos obtengamos cinco.
Si x vale uno (3) (1) = 3 + 2 = 5
Si a x le asignamos como valor dos obtendremos:
(3) (2) = 6 + 2 = 8 así que dos no es la solución.
La solución estará determinada por aquél o aquellos valores que hacen cierta la igualdad o la ecuación.



Tipos de ecuaciones:
Polinómicas.
Las más habituales con las que trabajaremos son las de 1º grado y 2º grado y se representan de la siguiente forma:
1º grado
ax + b = 0
2º grado
ax² + bx + c = 0
3º grado
ax³ + bx² + cx + d = 0
4º grado
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0

Las de primer grado también se les llama lineales y las de segundo grado se les llama cuadráticas.
Para clasificar las ecuaciones tenemos los siguientes ejemplos:

x² + 1 = 0   dos variables 2º grado
x + y = 1  dos variables 1º grado
x³ + 3y - z = 0  tres variables de 3º grado.
3³ + 2y² - z = 0 dos variables de 2º grado. Ya que 3³ no representa una variable ya que 3³ podemos operarlo y nos da 27.


Propiedades de las ecuaciones parte 1


Propiedad aditiva:

Cuando se suma o resta un número a ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.
Ejemplo:
3x² + 2 = 5
Si yo sumo 10 en ambos lados:
3x² + 2 + 10 = 5 + 10
3x² + 12 = 15
3x² + 12 = 15 y 3x² + 2 = 5  son ecuaciones equivalentes porque comparten la misma solución que bien puede ser x=1. Nota, puede haber más de una solución dentro de estas ecuaciones equivalentes ya que x=-1 también es otra solución.

Propiedad multiplicativa:
Cuando se multiplica o divide por un mismo número, distinto de cero, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.

Ejemplo:
3x² + 2 = 5
Si yo multiplico por dos en ambos lados:
(3x² + 2) (2)  = (5) (2)
6x² + 4 = 10


Resolución en cuatro pasos:
1.- Agrupación.
Para la ecuación de primer grado 4x+3+6x = 2+5x+4+x Lo primero que procedemos a realizar es la agrupación de las expresiones 4x y 6x ya que comparten la misma literal. Así como 5x y x que resulta 6x, así como 2 y 4 que es igual a 6

10x + 3 = 6x + 6

2.- Transposición.
Transpodremos las expresiones 10x y 6x, así como 3 y 6, eso se hace con la propiedad aditiva, por ejemplo restando tres en ambos lados:
10x + 3 -3  = 6x + 6 -3
[3 -3] = 0 y [6 -3] = 3
10x -6x = 6-3

3.- Agrupación / operación
Nuevamente agrupamos para simplificar las expresiones 10x y -6x, del mismo modo 6 y -3
4x = 3

4.- Despeje.
Por le propiedad multiplicativa señalada anteriormente dividimos en ambos lados por cuatro
4x = 3        x=  3
4 4
Resultando así que: equis es igual tres cuartos.



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