Sea c un número real
1.-
∞+∞=∞
c+∞=∞
c-∞=-∞
2.-
Si c>0 entonces:
c*∞=∞
∞/c=∞
3.-
Si c<0 entonces:
-c*∞=-∞
∞/-c=-∞
c*-∞=-∞
-∞/c=-∞

Indeterminaciones ∞/∞ y ∞-∞

El sol

Por ser una estrella mediana, cuenta con luz propia. Su temperatura superficial aproximadamente es de 6000 ºC. Su diámetro es de 1,392,000 km y su velocidad con respecto a la tierra es 1,300,000 veces mayor.

La luna

Su diámetro es de 3,476 km, 48 veces menor a nuestro planeta. Su gravedad es equivale a una sexta parte del que posee la Tierra. Su distancia media con respecto a nuestro planeta es de 384,400 km. Sus faces básicas son: luna llena, cuarto creciente, luna nueva, cuarto menguante.

La tierra

Las rectas imaginarias son: el ecuador, los paralelos, los meridianos y el eje terrestre. Sus extremos son el polo norte y el polo sur. Los movimientos que ejerce se denominan:
Movimiento de rotación.- Lo efectúa sobre su propio eje en dirección oeste-este. Un giro completo dura 23 horas, 56 minutos y 4 segundos, medida que se conoce como día sideral. El día solar dura 24 horas y el día civil se divide en dos periodos de doce horas cada uno: antes meridiano y pasado meridiano. El movimiento de rotación resulta en la sucesión del día y la noche. El sistema de husos horarios divide la Tierra en 24 porciones (una por cada hora) de 15º de longitud. El huso horario cero pasa sobre el meridiano de Greenwich y aproximadamente sobre el meridiano 180, se ubica la línea internacional del tiempo o de la fecha a partir del cual se inicia un nuevo día.
Movimiento de traslación.- Consiste en el desplazamiento de la Tierra alrededor del Sol describiendo una órbita elíptica.
Este movimiento se realiza aproximadamente en 365 días, 5 horas y 48 minutos, es la duración de un año solar; no obstante, nuestro calendario civil es de 365 días que para compensar las horas y minutos faltantes se hace uso de los años bisiestos de 366 días.
El movimiento de traslación provoca las cuatro estaciones del año.
La inclinación del eje terrestre y su forma elíptica de la órbita provocan las diferencias en la distribución de los rayos solares sobre la superficie del planeta.
Durante los solsticios, los rayos del Sol llegan verticalmente sobre los hemisferios norte o sur, originando que los días sean más largos que las noches. En los equinoccios, la duración del día es igual al de la noche.
Los solsticios y equinoccios marcan el cambio de una estación a otra. En un año se presentan dos solsticios (22 de junio y 22 de diciembre) y dos equinoccios.(21 de marzo y 22 de septiembre).

Estructura de la Tierra

La tierra está constituida por:
Núcleo.- comprende dos secciones, una sólida y una líquida; en ambas predomina el hierro y el níquel.
Núcleo (100 km)
Núcleo externo (2,900-5,100 km)
Manto.- formado por dos subcapas: el manto superior y el inferior; en ambas predominan rocas compuestas de silicatos de hierro y magnesio. Su temperatura media supera los 2,259 ºC
Manto (900 Km)
Corteza.- Es la capa exterior. Formada por lo suelos y rocas compuestas de silicio y aluminio. Las tierras emergidas representan el 29% de la superficie terrestre, el otro 71% está cubierto por agua.
Corteza (5-70 km)
Las tres grandes masas emergidas son los continentes americano, euroasiaticoafricano y antártico, convencinalmente se dividen en: América, Asia, África, Antártida y Oceanía.
Wegener fue el autor que postuló la teoría de la existencia de un solo continente llamado Pangea, del que se desprendieron porciones que forman los actuales continentes.

La lógica tiene un lenguaje exacto, pero aunque así sea, vamos a intentar construir un vocabulario. Es necesario redactar un conjunto de reglas que sean claras y definidas. Que estén libres de vaguedades halladas en nuestro lenguaje común. Para realizar este trabajo se utilizarán proposiciones en el idioma español.
Una proposición es una oración declarativa que puede tomar el valor de verdadero o falso, pero no ambos. La proposición es el elemento esencial en la lógica para la matemática. Se le puede considerar excepción lingüística que tiene la propiedad de tomar un valor verdadero o falso único. Sirve para la simplificación de argumentos complicados. Así se establece un conjunto de reglas claras, bien definidas y no se presentan ambigüedades ni vaguedades del lenguaje corriente.

Oraciones

Hemos dicho que los argumentos son conjuntos de oraciones, debemos decir que un par de palabras sobre qué entenderemos por oración en este contexto. En términos generales, las proposiciones son el significado de una oración o conjunto de oraciones, lo que queremos decir cuando enunciamos una oración o frase dada.
Los argumentos son concatenaciones de ideas que nos permiten sacar conclusiones. No son las expresiones lingüísticas, las oraciones, las que están en juego, sino sus significados, los conceptos e ideas detrás de esas materializaciones.

Clasificación de proposiciones

Cada proposición tiene una forma lógica a la que se le dará un nombre. En primer lugar, se consideran y simbolizan dos clases de proposiciones en lógica:
Proposiciones atómicas.- su forma es simple, si se juntan una o varias proposiciones atómicas con un término de enlace se obtiene una proposición molecular

Proposiciones moleculares: Se utilizan en términos de enlace para formar proposiciones moleculares a partir de atómicas.
Por ejemplo:

Hoy es domingo
No hay clase.

Ambas proposiciones son atómicas. Mediante un término de enlace se pueden unir para obtener una proposición molecular:

Hoy es domingo y no hay clase.

Por: María del Carmen Calzadilla J.

El campo de estudio de esta ciencia es muy amplio, comprende aspectos físicos, biológicos y humanos que sirven de fundamento a las tres ramas de la geografía general. A continuación se muestran las tres divisiones principales de esta ciencia.

Ciencias auxiliares de la geografía física

Ciencias auxiliares de la geografía biológica:

Ciencias auxiliares de la geografía humana:

 

Presentación

El Sol ☉

Mercurio ☿

Venus ♀

Tierra ♁

Marte ♂

Júpiter ♃

Saturno ♄

Urano ♅

Neptuno ♆

Conclusión

Bibliografía

Lógica deriva del griego logike, que significa dotado de razón, intelectual, dialéctico, argumentativo, que a su vez viene de logos, palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o principio. Estudia los principios de la demostración y deducción válida, en otras palabras tiene por objeto estudiar la relación del pensamiento con la verdad.
El pensamiento es el producto de la actividad intelectual de los humanos.
El pensamiento se puede estructurar en:
Concepto es el objeto de estudio como: perro y negro
Juicio es la comparación o asociación de conceptos como: el perro es negro.
La inteligencia relaciona y ordena juicios para llegar a conclusiones lógicas.
Razón es la comparación de juicios con otros juicios para de una verdad conocida pueda extraer una desconocida.

Todo animal siente.
Mi perro es animal.
Por lo tanto, mi perro siente.

Tipos de razonamientos
Razonamiento es un encadenamiento lógico entre dos o más juicios de los cuales el último que a través de un nexo lógico se lega a una consecuencia o conclusión de los anteriores.
La materia del razonamiento son los juicios.
La forma del razonamiento es el nexo lógico que relaciona el juicio o juicios con uno desconocido que es la conclusión.
Ejemplo de razonamiento:
Premisa Todos los niños son personas. (Antecedente 1).
Premisa Todos los alumnos de clase son niños. (Antecedente 2).
Todos los alumnos de la clase son personas. (Conclusión).
La consecuencia se da en el nexo lógico de las dos premisas

Razonamientos deductivos	Razonamientos no deductivos	Razonamiento por analogía
Aquellos de los que la conclusión derivan necesariamente de las premisas. Es correcto si y sólo si teniendo premisas verdaderas llegamos a una conclusión verdadera. Todos los hombres tienen alma Todos los pintores son hombres. Todos los pintores tienen alma.	No derivan necesariamente de una premisa. Tokio es una ciudad grande. Londres es una ciudad grande. Todas las ciudades son grandes. A pesar de que ambas premisas son verdaderas la conclusión es falsa.	Va de lo particular a lo particular. Rosa, María y Susana fueron a Francia. Rosa y María visitaron la torre Eiffel. (Por lo tanto) Susana también visitó la Torre Eiffel. La conclusión puede ser verdadera o falsa. Son razonamientos que no se basan en la certeza por lo que son razonamientos probables.

El sujeto es esencial para el pensamiento:
Piensa.
Posee un conocimiento.
Objeto de pensamiento.
Expresa.
Aristóteles fundó la lógica y la veía como un instrumento para la ciencia.
Las falacias
La lógica utiliza el término falacia para designar errores en los razonamientos.
Generalmente es un razonamiento engañoso que nos persuade, hay diferentes tipos de falacias:
Apelación a la ignorancia: es aceptar una conclusión porque no hay pruebas en contra de ella.
Hay espíritus en la casa de Juan.
Falacia por composición: reside en atribuir las características propias de un elemento al todo en el que se integra.
Juan es un excelente futbolista, por lo tanto el equipo donde juega va a ganar siempre.
Falacia por división: atribuir las características propias de un todo a cualquiera de sus elementos.
Hamlet es una excelente obra. Todo el que actúe en el Hamlet es un excelente actor.
Apelación a la piedad: cuando se busca la compasión de alguien para que acepte como verdadera una conclusión.
Una abogado apela que su cliente tiene hijos pequeños para evitar que vaya a la cárcel.
Apelación al pueblo: hace referencia a lo que piensa todo el mundo para que el otro acepte como verdadera una conclusión.
Los libros de Carlos son mejores porque la mayoría los lee.
Falacia del falso dilema: consiste proponer dos alternativas como las únicas posibles.
O votamos por el Peje o el país se derrumba.

Antropología

Ciencia que se ocupa del estudio del hombre, en especial, se ocupa de estudiarlo en su etapa primitiva y en relación a sus creaciones.
Los antropólogos que se enfocan a la prehistoria, estudian las sociedades que existieron antes de la aparición de la escritura. Algunas de sus proposiciones descansan en hipótesis por su difícil demostración.
Debido a que el objetivo de la antropología abarca dos áreas del estudio del hombre (como especie y como parte de una sociedad), se divide en:

1. Antropología física o biológica: es el campo de la Antropología que se especializa en el estudio de los seres humanos desde el punto de vista evolutivo y adaptativo. Mantiene un diálogo con la Primatología (estudio científico de los primates), la Demografía, la Ecología o las ciencias de la salud. Cuenta entre sus especializaciones a la Paleoantropología, la Antropología médica y la Antopometría
• Antropología forense: Se encarga de la identificación de restos humanos esqueletizados dado su amplia relación con la biología y variabilidad del esqueleto humano.
• Paleoantropología o paleontología humana: Se ocupa del estudio de la evolución humana y sus antepasados fósiles u homínidos antiguos.
• Antropología genética: Parte de la biología que estudia las leyes hereditarias a través de las generaciones.
2. Arqueología: Estudia lo que se refiere a las artes, monumentos y objetos de la antigüedad, especialmente a través de sus restos.
• Arqueoastronomía: Es el estudio de yacimientos arqueológicos relacionados con el estudio de la astronomía por culturas antiguas.
• Arqueología subacuática: Sigue los preceptos de la arqueología terrestre pero se dedica, a través de la técnicas de buceo, a desentrañar antiguas culturas cuyos restos materiales que, por alguna una razón u otra, se encuentran actualmente bajo el agua.
3. Antropología cultural o social o etnología: Permite establecer las diferencias y semejanzas de las sociedades que existen entre los numerosos grupos humanos habitantes para así, definir las leyes o principios que rigen la formación y desarrollo de dichas sociedades.
• Antropología aplicada: Se encarga de hacer investigaciones que promuevan cambios socioeconómicos en las sociedades. No sólo abarca temas de índole sociopolítico, sino de justicia social, estrategias de desarrollo, políticas educativas y de salud pública, gestión de recursos materiales, et.al.
• Etnohistoria: estudia a las comunidades originarias de una determinada región del mundo y su convivencia con otros grupos humanos, con la complejidad política e identitaria que ello representa. Relacionada con las nuevas corrientes históricas se ha enfocado también a las historias sociales que han sido relegadas.
• Antropología del parentesco: esta rama se enfoca en las relaciones de parentesco, entendido como un fenómeno social entre un individuo, sus progenitores y los consanguíneos de éstos; se trata de una de las especialidades más antiguas de la antropología, y de hecho está relacionada con el quehacer de los primeros antropólogos evolucionistas del siglo XIX.
• Antropología de la religión: Estudia los sistemas religiosos y de creencias.
• Antropología filosófica: se ocupa de las incertidumbres de índole ontológica, centrado su atención en el hombre, tomando en cuenta una variedad de aspectos de la existencia humana, pasada y presente, combinando estos materiales diversos en un abordaje íntegro del problema de la existencia humana.
• Además de: antropología económica, antropología política, aplicada, rural, urbana, visual, todas las que deben entenderse como enfoques o puntos de partida diversos para analizar los fenómenos sociales.

2300 a. C.: En Mesopotamia se crea el mapa más antiguo que se conoce está hecho de arcilla.
610-546a. C., Anaximadro dio a conocer un mapa geográfico con base al mundo conocido en aquél entonces. Hecateo de Mileto lo complementó trazando rutas marinas, posteriormente Herodoto nombró ecúmene a las áreas donde se creía estaban situadas las únicas porciones terrestres habitadas.
A Eratóstenes se le atribuye la invención, hacia 255 a. C., de la esfera armilar que aún se empleaba en el siglo XVII. Conocida también con el nombre de astrolabio esférico un modelo de la esfera celeste utilizada para mostrar el movimiento aparente de las estrellas alrededor de la Tierra o el Sol. Dicho aparato le sirvió para predecir eclipses. Fue el primero en acertar que la tierra era redonda y sus cálculos acertaron en la distancia de Alejandría al Trópico de Cáncer con un margen de error de menos del 1%, acuñó el término Geografía.
190-120 a. C. Hiparco de Nicea, primer catálogo de estrellas, división del día en 24 horas de igual duración, precesión de los equinoccios, distinción entre año sidéreo y año trópico, mayor precisión en la medida de la distancia Tierra-Luna y de la oblicuidad de la eclíptica, invención de los conceptos de longitud y latitud geográficas.
29 a.C. Estrabón, publica la enciclopedia Geográfica de 17 volúmenes. Rechazó la obra de los geógrafos matemáticos anteriores por su carácter astronómico o cartográfico. Centrándose en los aspectos humanos, históricos y míticos para componer un retrato los países que estudiaba.
Claudio Ptolomeo en el año 200 a.C. crea el primer mapamundi. Proporcionó tablas de posiciones que permitían realizar mapas de la Tierra a los cartógrafos de ese tiempo basado en la longitud y latitud de los lugares.
El conocimiento geográfico se vio interrumpido con la desaparición de Roma. Dominó una cosmografía religiosa en la que la Tierra se conservó como un disco circular y los continentes (África, Europa y Asia) tenían como centro a Jerusalén. El explorador destacado del mundo occidental fue Marco Polo. En 1086 Shen Kuo magnetizó una aguja frotando su punta con magnetita, la colgó con una fibra de seda pegada con cera. En la sociedad árabe conservaron los conocimientos griegos. Las necesidades de gobierno y el comercio dentro de los territorios árabes facilitaron la recopilación de datos geográficos, sintetizados por viajeros como Ibn Batuta, Ibn Jaldùn o sobre todo Al-Idrìsì (1099-1180) que realizó El libro de Rogerio donde reunió gran número de informaciones sobre las tierras conocidas y sobre diversos lugares, capitales y ciudades.
Gerardo Mercator 1512-1594 A principios del siglo XVI, los cartógrafos empleaban caracteres góticos que limitaban el espacio para añadir información. Mercator adoptó un nuevo estilo de  letra itálica que resultó muy útil en la fabricación de globos terráqueos. En 1544 es acusado de herejía y pasa en prisión siete meses. En 1569 propuso un sistema de proyección de líneas de longitud paralelas, lo que facilitó la navegación por mar al poderse marcar las direcciones de las brújulas con líneas rectas.
Objetivos de la Unión Geográfica Internacional
Américo Vespucio 1504 en París se imprime la obra Mundus Novus de Américo Vespucio donde da a conocer al mundo que Colón descubrió un nuevo continente.
Bernhardus Varenius 1622–1650, consideró la geografía como una disciplina con fines y métodos propios, la división de su campo de estudio en dos ramas básicas: geografía general o universal, de carácter sistemático, cuyo objeto serían los hechos y fenómenos relativos a la Tierra en su conjunto; y geografía regional. Para él los cambios en el planeta determinaban la forma de cualquier lugar.
1779-1859 Carl Ritter, Entre sus logros destacan las explicaciones de las relaciones existentes entre el medio físico y la vida del hombre, prestando menos atención a los fenómenos físicos y poniendo el acento en la vida social y los procesos históricos, de los cuales fue obligado a retractarse.
Alexander von Humboldt 1769-1859: Amigo de Goethe. Uno de los hallazgos derivados de sus expediciones es el estudio sobre el vulcanismo y su relación con la evolución de la corteza terrestre, estudió la diferencia de temperaturas del Océano Pacífico en determinadas épocas del año, redacción del Cosmos, una visión global de la estructura del universo, los fenómenos terrestres y celestes, así como los textos suramericanos, libros científicos, atlas, tratados de geografía y economía de Cuba y México. Se atribuye a Humboldt la invención de nuevas expresiones, como isodinámicas, isotermas, isóclinas, jurásico y tempestad magnética. Desarrolló las bases de la geografía física, la geofísica y la sismología. Demostró que no puede haber conocimiento científico sin experimentación verificable.
1830, la Royal Geographical Society es una institución británica para el desarrollo de la ciencia geográfica. Ha sido clave el apoyo y la participación de conocidos exploradores y expedicionarios como: Charles Darwin, et. al. La Sociedad tiene cinco comités especializados en: comité de educación, comité de investigación, comité de expediciones y trabajos de campo, comité de recursos de información y el comité de finanzas.
1830-1905, Élisée Reclus, realizará una obra profundamente personal y popular, pero que no obtendrá reconocimiento por parte de las instituciones oficiales francesas ni continuidad hasta su redescubrimiento por parte de los geógrafos radicales en la década de los 70. Desde una ética anarquista, Reclus se centrará en las relaciones entre los grupos humanos y el medio natural, en reconocer el lazo íntimo que reúne la sucesión de los hechos humanos y la acción de las fuerzas telúricas, pues el hombre es la naturaleza que toma conciencia de sí mismo.
Ferdinand Freiherr von Richthofen 1833-1905. El dominio propio de la geografía es muy amplio, básicamente la superficie terrestre (la cual incluye la litosfera, la hidrósfera y la atmósfera) y todos los fenómenos que están en relación de causalidad con ella, incluido el hombre. Propone diversas ramificaciones del estudio de la geografía. Definió a la geografía como la ciencia de la superficie terrestre, con lo que eliminaba los temas de la geografía astronómica, matemática y cartografía.
Paul Vidal de La Blache, 1845-1918, para Vidal el objeto de la geografía era la relación hombre-naturaleza, desde la perspectiva del paisaje, del estudio de la región. Al hombre lo considera un ser activo, que sufre la influencia del medio, actuando sobre éste y transformándolo. La naturaleza la considera como un conjunto de posibilidades para la acción del hombre pues una comunidad se desarrolla sobre una región, que supone la infraestructura ofrecida por la naturaleza. El hombre se adapta a esta región mediante un conjunto de técnicas, hábitos, costumbres, que Vidal denomina géneros de vida, una situación de equilibrio entre el hombre y el medio construido históricamente por las sociedades. El territorio afectado por estos géneros de vida es el dominio de civilización. La geografía debe encargarse del estudio de las regiones, para así comprender los géneros de vida, las causas de su permanencia y la formación de dominios de civilización.
Halford John Mackinder 1861-1947, centra sus esfuerzos en establecer los estudios geográficos como una disciplina propia de estudio en Inglaterra. Argumenta que la geopolítica, está condicionada por las realidades físicas de la geografía de los países, las cuestiones políticas dependen de los resultados de las incidencias entre el hombre y su entorno que incluye la configuración de la superficie de la tierra, el clima, la vegetación, la ausencia o abundancia de recursos naturales. Este texto es la base de la Geopolítica. Pensaba que quién controle Europa del Este dominará el mundo.
Friedrich Ratzel, fundador de la geografía humana, desarrollador del concepto: geopolítica. Influido por las ideas de Darwin reflexionó sobre las relaciones existentes entre espacio geográfico y población, e intentó relacionar la historia universal con las leyes naturales. Jugó un importante papel en la antropología evolucionista, contraponiéndolo a la idea de que las poblaciones necesitan difundir sus rasgos culturales más allá de su ambiente original y que los contactos con otros pueblos permiten el desarrollo.
Carl O. Sauer, 1889-1975 desarrolla una metodología para explicar cómo los paisajes culturales son creados a partir de formas superpuestas al paisaje natural. Propuso en su lugar un paradigma diferentemente llamado "morfología del paisaje" o más adelante geografía cultural. Este acercamiento implicó la reunión inductiva de hechos acerca del impacto humano en el medio, la construcción del paisaje cultural y los cambios en las formas de vida de las culturas. Mostró su preocupación por la destrucción de la diversidad cultural y por la salud ambiental de mundo.
Jean Brunhes, 1869-1930, la geografía como ciencia del paisaje cultural, se ordena en torno a tres series de hechos esenciales: la ocupación improductiva del suelo (casas y carreteras), la conquista de plantas y animales (cultivos, ganado) y de la economía que él llama destructiva (devastación animal, vegetal y explotaciones minerales). Una concepción que recibió críticas en su tiempo por considerarse demasiado restrictiva.
1927 Para Alfred Hettner, relevar el carácter variable de la superficie terrestre, captando la diferenciación de áreas, al trabajar con ellas, la geografía adquiere su carácter ideográfico y define un objeto de estudio que le es propio.
1933, Walter Christaller, teoría de los lugares centrales: establece el concepto de lugares centrales a los puntos donde se prestan determinados servicios para la población de un área circundante. Se sustenta en que la centralización es un principio natural de orden es que los asentamientos humanos lo siguen. La teoría sugiere que hay leyes que determinan el número, tamaño y distribución de las ciudades.
1. Promover el estudio de los problemas geográficos.
2. Iniciar y coordinar la investigación geográfica que requiera la cooperación internacional y promover las deliberaciones y publicaciones científicas.
3. Facilitar la participación de los geógrafos en la labor de las organizaciones internacionales.
4. Facilitar la recopilación y difusión de datos geográficos y la documentación entre todos los países miembros.
5. Promover la celebración de congresos internacionales de geografía, así como conferencias y simposios regionales especializados relacionados con los objetivos de la Unión.
6. Participar de cualquiera otra forma apropiada para la cooperación internacional con el objetivo de avanzar en el estudio y la aplicación de la geografía.
7. Promover la normalización internacional, métodos de comparación, las nomenclaturas y los símbolos empleados en la geografía.

Definición formal de límite:
El límite de una función f cuando x se aproxima a a es igual a L:
Lim F(x)=L
x→a
Si para todo número
ε>0
existe un número
δ>0
Tal que:
|f(x)-L|<ε
para todo x en el dominio de f que satisface  la desigualdad o inecuación.
0<|x-a|<δ
















Aplicando los teoremas de límites, calcular el límite de tres cuando equis tiende a dos:
Lim3
x →2
Como es una función constante tiende a tres.
Nota: el límite de cualquier función constante va a ser la misma función constante.

• Calcular el límite  de x cuando x tiende a 2:

Limx=2
x→2
f(x)=x

• Calcular:

Lim3x
x→2
Lim3x=3(2)=6

• Calcular el límite de 3x+2 cuando tiende a 2:

Lim3x+2
x→2
 Lim3(2)+2=8

• Calcular:

Limx³
 x→3
 Lim(3)³=27
 Calcular:
Lim(x³-3x+2)
x→-1
Lim[(-1)³-3(-1)+2)]=
-1+3+2=4

• Encontrar:

Lim(6x+1)(2x-3)
x→-2
Lim [6(-2)+1)(2(-2)-3]=
[-12+1][-4-3]=
[-11 ][-7]=77

Por sustitución directa

Si la función f es un polinomio ouna función racional y a pertenece al dominio f entonces:
Limf(x)=f(a)
x→a
Siempre que el valor del denominador para a no sea cero, en el caso de una función racional.
Lim(2x²-3x+4)
x→5
 Lim[2(5)²-3(5)+4]=
Lim[2(25)-15+4] =
Lim[50-15+4]=39

---

Lim  x²-9
x→3 x+1
 x²-9 = (3)²-9 = 9-9 = 0 = 0
 x+1        3+1     4       4

La indeterminación: cero entre cero

Regla 1: para eliminar la indeterminación, cero entre cero, en un cociente de polinomios en x, se factorizan numerador y/o denominador y se eliminan los factores comunes en el límite de la función.
Nota: Al aplicar el límite a la función los factores eliminados son diferentes de cero.
Calcular
Lim   x²-4
x→2  x-2
Lim   (x-2)(x+2)
x→2      x-2
Limx+2=
2+2=4

---

Lim x²-3x+2
x→2   x²-4
(x-2)(x-1)=
(x-2)(x2)
x-1=
x+2
2-1= 1
2+2   4

---

Lim     x-1    =
x→2 x²+x-2
  1    =

x+2
  1  = 1
1+2   3

Concepto intuitivo de límite

Cantidad fija a la que una variable trata de ser igual. Por ejemplo, el límite de 1/n cuando n tiende a infinito es 0. El límite de una función, describe su comportamiento cuando se acerca a un valor dado en x pero nunca es x.
Ejemplos:
Recordemos que en una función y también conocida como f(x) cuyos elementos importantes son x que es la variable independiente.
¿Qué le sucede a f(x)=x²+3 cuando x se acerca a 3?

x hacia 3 por la izquierda			3				x hacia 3 por la derecha
x 2,5 f(x) 9,25	2,9 11,41	2,99 11,9401		2,999 11,994001	3,001 12,006001	3,01 12,006001		3,01 12,00601	3,1 12,61
f(x) hacia 12 por la izquierda			12				f(x) hacia 12 por la derecha

Si f(x) =x²-4/x-2 ¿a qué valor se aproxima f(x) si x se aproxima a 2?

x hacia 2 por la izquierda			2				x hacia 2 por la derecha
x 1,5 y3,5	1,9 3,9	1,99 3,99		1,999 3,999	2,001 4,001	2,01 4,01		2,1 4,1	2,5 4,5
f(x) hacia 4 por la izquierda			4				f(x) hacia 4 por la derecha

Ejercicio:
f(x)=2x²-x-1/x-1

x hacia 1 por la izquierda			1				x hacia 1 por la derecha
x 0,9 y 2,8	0,99 2,98	0,999 2,998		1,0001 3,0002	1,001 3,002	1,01 3,02		1,1 3,2	1,5 4

(2*0,9²-0,9-1)/(0,9-1)=2,8
(2*0,99²-0,99-1)/(0,99-1)=2,98
(2*0,999²-0,999-1)/(0,999-1)=2,9979999999999
(2*1,0001²-1,0001-1)/(1,0001-1)=3,00019999999999
(2*1,001²-1,001-1)/(1,001-1)=3,0019999999999
(2*1,01²-1,01-1)/(1,01-1)=3,02
(2*1,1²-1,1-1)/(1,1-1)=3,2
(2*1,5²-1,5-1)/(1,5-1)=4
El límite de la función es tres cuando tiende a uno.