Esta función es de vital importancia en áreas como los negocios,
finanzas, astronomía, tecnología acústica y electrónica. Vamos a
definir: si
b es un número real positivo (b ∈ R+), la función que a
cada elemento real “X” le asocia la potencia bx se le llama función
exponencial. Se representa como:
F(x)=bˣ
Donde la base “b” es mayor que cero y b no es igual a 1.
b>0 y b≠1
La variable independiente equis pertenece a los números reales
porque si la base comprende valores entre uno y cero pasa esto:
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En F(x)=1ˣ vemos que ya no corresponde a la gráfica de una
función exponencial, sino la gráfica de una función constante que corta al
eje f(x) en uno.
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Si b es cero, F(x)=0ˣ, fíjate que ya no tenemos gráfica
exponencial.
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Cuando el exponente equis es positivo vemos que la gráfica corta a la
gráfica f(x) y que es una función creciente.
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Cuando el exponente equis es negativo observa que la función es
decreciente para valores de equis negativo.
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Número e
Este es uno de esos números que aparecen en los lugares
menos insospechados. Lo que podría sorprenderte es que a este número se le
represente con una letra.
número es sumamente importante para
el estudio de los logaritmos naturales y otras funciones. A este nivel podemos
decir que es el valor que toma la expresión uno más uno partido en equis,
elevado a la equis cuando equis toma valores muy grandes.
Para valores demasiado grandes podemos
usar el número e, que es un número irracional como π, (3.14159265358…) o φ,
(0.61803398874...) donde e vale: e=2,71828182845...
La función exponencial natural se define
entonces como
f(x)
=eˣ
Donde e es un
número irracional y la variable independiente equis es un número real.
El número e se
emplea como base de logaritmos naturales y es importante porque participa en
muchas situaciones que moldean planteamientos de tipo exponencial.
Concepto intuitivo de logaritmos naturales
Un logaritmo siempre tiene una base positiva, pero para el
caso cuando esta base es igual al número e (2,7182…). Entonces LogeX que podemos simplificar como LnX
LogeX=LnX
Todas las propiedades que tenga LogeX
van a ser las mismas que LnX, porque es un logaritmo
simplificado con base e.
Para el caso de un logaritmo con base tres del número
ochenta y uno se resolvería de la siguiente manera:
Log381=?
Por definición el signo de interrogación se debe comprender
que la base del logaritmo (tres) elevado a un exponente que no lo conocemos,
debe ser igual al número que tiene el logaritmo (ochenta y uno)
Log381=? ←→
3?=81
En base a esta igualdad vamos a resolver cuánto vale el
exponente. Ochenta y uno lo podemos representar como tres a la cuatro, es decir
es decir tres por tres por tres por tres.
Log381=? ←
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→ 3?=81
3?=3⁴
?=4
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Con esto ya resolvemos que el exponente que falta en el lado
izquierdo debe ser igual a cuatro: Log381=4 ←. Así
resolveríamos que cuatro es la respuesta a este logaritmo.
Para el caso del logaritmo natural
del número nueve (Ln9), recordemos que también se puede representar como
logaritmo con base e del número nueve (Loge9).
Ln9 → Loge9
Como ya se puede observar la base
podemos aplicar la definición anterior, donde la base e elevada al exponente
que andamos buscando (e?) nos debe dar nueve.
Recordemos que nueve se puede
representar como tres por tres y el número e truncado en cuatro cifras es 2,7182
elevándolo al signo de pregunta.
Loge9= ? ←
|
→ e?=9
(2,7182) ?=32
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Así que por comparación, si
tenemos que multiplicar tres por tres para tener nueve aquí multiplicando dos
veces 2,7182 no vamos a llegar a nueve. Por lo tanto nuestro exponente
debe ser mayor a dos, para alcanzar a acercarnos al nueve tenemos que
multiplicarlo aproximadamente 2,2, no es un tres porque de hacerlo nos
resultaría 20,083723072568 y tenemos que llegar a nueve.
Loge9= 2,2 ←
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→ e?=9
(2,7182) ?=32
?>2
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Un logaritmo natural muy
importante de conocer es el logaritmo natural del número e
Lne →
Logee =?
Por el momento no sabemos la
respuesta, pero lo que sí sabemos es que la base del logaritmo, al exponente
que andamos buscando debe ser igual al número e que aparentemente no tiene
exponente pero no olvides que siempre será uno.
De esta manera, por comparación
sabemos que debe tener el lado izquierdo de la ecuación debe ser igual a uno
para que sean iguales. Así que la respuesta del logaritmo natural de e es uno.
Por último, un logaritmo natural
utilizado es el logaritmo natural del número uno el cual resulta ser cero como
veremos:
Ln1 → Logee
=?
Crecimiento o decrecimiento en base e
Nuestras funciones exponenciales
naturales tendrán como base el número e y lo representaremos con la siguiente
función: f(x)=Aeᵏˣ
Si k>0, la función es creciente
y si k<0, la función es decreciente.
En finanzas, cuando una cierta
cantidad de dinero (C₀) se capitaliza continuamente, se emplea la
función exponencial natural para determinar el monto total (C), al cabo de un
cierto tiempo (t) con una tasa de interés (r), la expresión se reflejará así:
C(t)=C₀ert
Tabla de fórmulas
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Forma general
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Forma
aplicada para decrecimiento
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Forma
aplicada para crecimiento
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f(x)=Abˣ
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P(t)=P₀(1-r)ᵗ
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P(t)=P₀(1+r)ᵗ
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f(x)=Aeᵏˣ
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P(t)=P₀et
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P(t)=P₀eᵗ
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Ejemplo 1:
Si son invertidos $1000 a una tasa
anual del 7%, capitalizado continuamente; ¿cuál será el monto al final de 3
años?
Se sustituye la función continua
de capitalización
C(t)=C₀eʳᵗ
Donde:
C₀=1000
r=0,07
t=3
Sustituimos y resolvemos:
C(t)=1000e(⁰,⁰⁷)(³)
C(t)=1000e⁰,²¹
C(t)=1000(2,71828182845)⁰,²¹
C(t)= 1000(1,2336780599559
C(t)=1233,6780599559
Ejemplo 2:
Un banco paga 8% anual de interés,
si se deposita la cantidad de $25,000, calcular:
a) ¿Cuánto dinero habrá después de
10 años si se capitaliza anualmente?
Fórmula
