Ecuaciones de primer grado con una variable

Antes que nada propiedades de las ecuaciones (completas) da click sobre ellas para ampliarlas.


Procedimiento:
5x-7 = 8x + 14
5x = 8x + 14 +7 [Pasamos las expresiones no literales a la derecha, pero con signo contrario]
5x -8x= 14 +7 [Y las literales a la izquierda, también con signo contrario]
-3x = 21 [Simplificamos]

x= 21  [Despejamos la literal]
     3

Ejemplos:


5x -3 = 1
5x = 1+3
5x = 4
x= 4
5
Comprobación:

5/1 (4/5) -3 = 1
20/5 -3 = 1
4-3 =1
1=1


8z -3 = 9-2z
8z + 2z = 9+3
10z = 12
z = 12
10
z= 6
5
Comprobación:
8/1 (6/5) -3 = 9-2/1 (6/5)
48/5 -3 = 9 -12/5
48 -15 = 45 -12
5 5
33 = 33
5 5

3(2y -1) = 5y +11
6y -3 = 5y +11
6y -5y = 11+3
y= 14

Comprobación:
6(14) -3 = 5 (14) +11
84 - 3 = 70 +11
81 = 81



Un padre de familia tiene 40 años y su hijo 15, Dentro de cuánto tiempo será la edad del padre, el doble de la edad de su hijo?

Sea x el tiempo que transcurre a partir de las edades actuales del padre y del hijo. Entonces para cierto tiempo:

Edad del padre = 40 + x
Edad del hijo = 15 + x


40 + x = 2 (15 + x)
40 + x = 30 + 2x
x - 2x = 30-40
-x = -10
x = -10
1
x= 10


Edad del padre = 40 + 10 =50
Edad del hijo = 15 + 10 = 25

Democracia

Democracia

Es una forma de organización social que atribuye la titularidad de poder al conjunto de la sociedad.
Es una forma de convivencia en la que los miembros son libres e iguales y las relaciones sociales se establecen de acuerdo a mecanismos contractuales.



Propiedades de las ecuaciones y su resolución

Definición de ecuación:
Una ecuación es una relación de igualdad que contiene al menos una variable representada de forma literal:
3x + 2 = 5
Se compone de una variable, en este caso x representa un número o cantidad en una expresión matemática. en el ejemplo dado no es 3x sino solamente la x. Nuestro objetivo va a ser obtener qué representa x, un número que multiplicado tres veces y luego sumado con dos obtengamos cinco.
Si x vale uno (3) (1) = 3 + 2 = 5
Si a x le asignamos como valor dos obtendremos:
(3) (2) = 6 + 2 = 8 así que dos no es la solución.
La solución estará determinada por aquél o aquellos valores que hacen cierta la igualdad o la ecuación.



Tipos de ecuaciones:
Polinómicas.
Las más habituales con las que trabajaremos son las de 1º grado y 2º grado y se representan de la siguiente forma:
1º grado
ax + b = 0
2º grado
ax² + bx + c = 0
3º grado
ax³ + bx² + cx + d = 0
4º grado
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0

Las de primer grado también se les llama lineales y las de segundo grado se les llama cuadráticas.
Para clasificar las ecuaciones tenemos los siguientes ejemplos:

x² + 1 = 0   dos variables 2º grado
x + y = 1  dos variables 1º grado
x³ + 3y - z = 0  tres variables de 3º grado.
3³ + 2y² - z = 0 dos variables de 2º grado. Ya que 3³ no representa una variable ya que 3³ podemos operarlo y nos da 27.


Propiedades de las ecuaciones parte 1


Propiedad aditiva:

Cuando se suma o resta un número a ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.
Ejemplo:
3x² + 2 = 5
Si yo sumo 10 en ambos lados:
3x² + 2 + 10 = 5 + 10
3x² + 12 = 15
3x² + 12 = 15 y 3x² + 2 = 5  son ecuaciones equivalentes porque comparten la misma solución que bien puede ser x=1. Nota, puede haber más de una solución dentro de estas ecuaciones equivalentes ya que x=-1 también es otra solución.

Propiedad multiplicativa:
Cuando se multiplica o divide por un mismo número, distinto de cero, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.

Ejemplo:
3x² + 2 = 5
Si yo multiplico por dos en ambos lados:
(3x² + 2) (2)  = (5) (2)
6x² + 4 = 10


Resolución en cuatro pasos:
1.- Agrupación.
Para la ecuación de primer grado 4x+3+6x = 2+5x+4+x Lo primero que procedemos a realizar es la agrupación de las expresiones 4x y 6x ya que comparten la misma literal. Así como 5x y x que resulta 6x, así como 2 y 4 que es igual a 6

10x + 3 = 6x + 6

2.- Transposición.
Transpodremos las expresiones 10x y 6x, así como 3 y 6, eso se hace con la propiedad aditiva, por ejemplo restando tres en ambos lados:
10x + 3 -3  = 6x + 6 -3
[3 -3] = 0 y [6 -3] = 3
10x -6x = 6-3

3.- Agrupación / operación
Nuevamente agrupamos para simplificar las expresiones 10x y -6x, del mismo modo 6 y -3
4x = 3

4.- Despeje.
Por le propiedad multiplicativa señalada anteriormente dividimos en ambos lados por cuatro
4x = 3        x=  3
4 4
Resultando así que: equis es igual tres cuartos.



Videos de ciencias sociales

Videos proyectados en clase de ciencias sociales.




Balanceo por tanteo de ecuaciones químicas


Gas metano


Cuando la reacción química se expresa como ecuación, además de escribir correctamente todas las especies participantes (nomenclatura), se debe ajustar el número de átomos de reactivos y productos, colocando un coeficiente a la izquierda de los reactivos o de los productos. El balanceo de ecuaciones busca igualar el de átomos en ambos lados de la ecuación, para mantener la Ley de Lavoisiere. 

Por ejemplo en la siguiente reacción (síntesis de agua), el número de átomos de oxígenos de reactivos, es mayor al de productos.
H₂ + O₂  H₂O

Para igualar los átomos en ambos lados es necesario colocar coeficientes y de esta forma queda una ecuación balanceada.
2 H₂ + O₂  2 H₂O

Nota: Para calcular el número de átomos, el coeficiente multiplica a los subíndices y cuando el cuando el coeficiente es igual a 1 "se omite" por lo que el número de átomos es igual al subíndice.
Los métodos más comunes para balancear una ecuación son : Tanteo , Algebraíco y Redox .

Tanteo 

Consiste en dar coeficientes al azar hasta igualar todas las especies.

Ejemplo :

CaF₂ + H₂SO₄CaSO₄ + HF

Ecuación no balanceada

El número de F y de H esta desbalanceado, por lo que se asignará (al azar) un coeficiente en la especie del flúor de la derecha.

CaF + HSOCaSO + 2 HF

Ecuación balanceada



Ejemplo :

K + HOKOH + H₂

Ecuación no balanceada

El número de H esta desbalanceado, por lo que se asignará (al azar) un coeficiente en la especie del hidrógeno de la izquierda.

K + 2 HOKOH + H₂

Ecuación no balanceada

Quedarían 4 H en reactivos y 3 en productos, además la cantidad de oxígenos quedó desbalanceada, por lo que ahora se ajustará el hidrógeno y el oxígeno.

K + 2 HO2 KOH + H₂

Ecuación no balanceada

El número de K es de 1 en reactivos y 2 en productos, por lo que el balanceo se termina ajustando el número de potasios.

2 K + 2 HO2 KOH + H    

Ecuación balanceada

Factorización

Es regresar un número a sus inicios o factores, el treinta y seis, si lo descomponemos a sus factores es seis multiplicado por seis. Su procedimiento es parecido al mínimo común múltiplo. Aunque hay números que no se pueden factorizar.
36 = (6) (6)
64 = (8) (8)
28 = (14)(2) ó (7)(4)

2ax² -4ay + 8a²x
(2a) (x²-2y+4ax) ó (2) (ax² -2ay +4a²x)

2x +6y
(2) (x+3y)

a (x + 2y) -3 (x+2y)
(a-3) (x+2y)



Factorización de trinomios cuadrados perfectos.


a² + 2ab + b²
√a²=a √b²=b
Comprobación: 2 (a) (b) = 2ab

a²-4ab +4b²
√a²=a √4²=b
Comprobación: 2 (a) (ab) = -4ab


36x²-18xy⁴ +4y⁸
√3x²=6x √4y⁸=2y⁴
Comprobación: 2 (6x) (2y⁴) = 24xy⁴ No es un trinomio cuadrado perfecto.


x⁴ -28x² +196
√x⁴ = x² √196 = 14
Comprobación: 2(x²) (14) = 28x²





Factorización de trinomios cuadrados perfectos.

Fórmula a² -b² = (a-b)(a+b)

1-a²
√1 =1
√a² = a

(1+a)(1-a)
1 +1a -1a -a² = 1-a²

81x² -36y⁴
√8x² = 9x
√36y² = 6y²

(9x +6y²) (9x -6y²)
81x² -54xy² +54xy² -36y⁴ = 81x² -36y⁴

Reacciones químicas

Las reacciones químicas son procesos que transforman una o más substancias llamadas reactivos en otras substancias llamadas productos. En un lenguaje más académico, decimos que una reacción química promueve el cambio de estructura de la materia.
En la química inorgánica podemos clasificar las reacciones en cuatro tipos diferentes:


1- Reacciones de Síntesis o Adición

Las reacciones de síntesis o adición son aquellas donde las substancias se juntan formando una única sustancia. Representando genéricamente los reactivos como A y B, una reacción de síntesis puede ser escrita como:
A  + B —– > AB
Veamos algunos ejemplos
Fe + S —– > FeS
2H2 + O2 —– > 2H2O
H2O + CO2—– >  H2CO3
Perciba en los ejemplos que los reactivos no precisan ser necesariamente substancias simples (Fe, S, H2, O2), pudiendo también se substancias compuestas (CO2, H2O) pero en todas el producto es una sustancia menos simple que las que originaron.


2- Reacciones de Análisis o Descomposición

Son lo opuesto de las reacciones de síntesis, o sea, un reactivo da origen a productos más simples que él. Escribiendo la reacción genérica nos resulta fácil entender lo que sucede:
AB —– > A + B
Veamos algunos ejemplos:
2H2O  2 H2 + O2
2H2O2  2H2O + O2
Reversibilidad de las reacciones químicas
Los ejemplos pueden sugerir que cualquier reacción de síntesis puede ser invertida a través de una reacción de análisis. Esto no es verdad. Algunas reacciones pueden ser reversibles, como podemos notar en la reacción del agua:
2H2 + O2  2H2O
2H2O  2H2 + O2
Sin embargo esto no es una regla


3- Reacciones de Desplazamiento

En su forma genérica la reacción puede ser escrita como:
AB + C —– > A + CB
Vamos a entender lo que sucede: C cambio de lugar A. Simple, pero ¿será que esto ocurre siempre? Intuitivamente la respuesta es que no. Imagina lo siguiente: Entras en un baile y ves a la persona con la que te gustaría bailar con otra persona. Vas a ir hasta ella e intentar hacerla cambiar de pareja, estarás intentando desplazar el acompañante indeseable y asumir su lugar. Si resulta que eres más fuerte que el indeseable basta darle un empujón para asumir su lugar, pero si él fuera un troglodita, posiblemente no sentirá el empujón dado.
En la reacción de desplazamiento el proceso es idéntico: C ve a B ligado a A, se aproxima y siendo más fuerte, desplaza A y asume la ligación con B. En caso que C no sea más fuerte que A, nada sucederá. Bastará entonces saber quién es más fuerte que quién.
Au<Ag<Cu<H<Pb<Sn<Ni<Fe<Cr<Zn<Al<Mg<Na<Ca<K<Li
Metales nobles < hidrógeno < metales
De esta forma, tenemos:
2Na + 2H2O —– > 2NaOH + H2 (el sodio desplaza al hidrógeno del agua H-OH)
Au + HCl  —– > no reacciona (el oro no consigue desplazar al hidrógeno)

4- Reacciones de Doble Sustitución

Son también muy simples, pero debemos quedar atentos a los detalles. El mecanismo es fácil:
AB + CD —– > AD + CB
Ciertamente ya habrá podido ver lo que sucede. A cambió de lugar con C. La diferencia de este tipo de reacción con el desplazamiento, es que ni A ni C estaban solos y en ambos casos ninguno de ellos quedó solo luego de la sustitución.
Para entender cómo es cuando una reacción de este tipo ocurre, tendremos que observar lo siguiente:
La substancia AB está en solución y de esta forma lo que tenemos en verdad son los iones A+ y B- separados unos de los otros. La substancia CD también está en solución, por tanto tenemos también los iones C+ y D- separados.
Cuando juntamos las dos soluciones estamos promoviendo una gran mezcla entre los iones A+, B-, C+ y D-, formando una gran “sopa de iones”.
Si al combinar C+ con B-, el compuesto CB fuera soluble, los iones serán nuevamente separados en C+ y B-, resultando exactamente en la misma cosa que teníamos anteriormente. Lo mismo sucede con A+ y B-. Así, al mezclar AB con CD, estamos en verdad haciendo:
(A+ ) + (B- ) + (C+ ) + (D- )
Tomemos en cuenta que juntar iones que se separarán nuevamente resultará en la misma “sopa de iones” y no resulta en ninguna nueva substancia, por tanto no ocurre ninguna reacción.
Para que la reacción efectivamente ocurra, será necesario que al menos uno de los probables productos (AD o CB) no sean separados al juntarse, o sea, deben formar un compuesto insoluble y esto es logrado a través de una sal insoluble, de un gas o de agua.
Si uno de los productos fuera una sal insoluble, él no será separado en iones y permanecerá sólido. Si fuese un gas, él se desprenderá de la solución (burbujas) y también permanecerá con sus moléculas agrupadas. Mientras que si uno de los productos fuese agua, ella no se desagrega en su propia presencia.
NaCl + AgNO3 —– > NaNO3 + AgCl
En esta reacción el producto AgCl (cloruro de plata) es insoluble, por tanto la reacción ocurre.
NaCl + LiNO3 —– > NaNO3 + LiCl
Como ninguno de los productos formados, NaNO3 (nitrato de sodio) o Lic. (Cloruro de Litio) es insoluble, la reacción no sucede.
NaOH + HCl —– > NaCl + H2O
Como uno de los productos es agua (H2O), la reacción ocurre.
Para la previsión de ocurrencia o no, de una reacción de doble desplazamiento, es fundamental que conozcamos la solubilidad de la sal en el agua, y para recordar esto lea acerca de solubilidad en el agua.
Imagínese que usted desea obtener sulfato de plomo (PbSO4), usted sabe que tendrá que juntar el ion del plomo (Pb 2+) y el ion de sulfato (SO42 -). Como sabemos que el sulfato de plomo es insoluble, podemos promover un doble desplazamiento
PbX + YSO4 —– > PbSO4 + XY
Es solo elegir X e Y de forma que las dos substancias sean solubles.
Otra forma de realizar el desplazamiento de hidrógeno, del hidrógeno por el plomo ya que éste es más reactivo.
Pb + H2SO4 —– > H2 + PbSO4


Binomio al cubo



(4x² + 6)³
(4x²)³ + 3(4x²)² (6) + 3(4x²) (6)² + (6)³
64x⁶ + 3(16x⁴) (6) + 3(4x²)(36) + 216
64x⁶ + 288x⁴ + 432x² + 216

Comprobación:
Por propiedad asociativa primero [(4x² + 6) (4x² + 6)] y después (4x² + 6)
16x⁴+ 24x² + 24x² + 36
(16x⁴+ 48x² + 36) (4x² + 6)
64x⁶ + 96x⁴ + 192x⁴ + 288x² + 144x² + 216
64x⁶ + 288x⁴ + 432x² + 216

(x-2)³
x³ - 3(x)² (2) + 3 (x) (2)² -2³
x³ - 6x² + 12x -8

Comprobación:
(x-2)³
(x-2) (x-2) (x-2)
x² -2x -2x +4
(x² -4x +4) (x-2)
x³ -2x² -4x² + 8x + 4x -8
x³ - 6x² + 12x -8






Resultados del ejercicio del video:

(x²-3y)³
(x²)³ -3(x²)²(3y) + 3(x²)(3y)² –(3y)³
x⁶ - (3x⁴)(3y) + (3x²)(9y²) -27y³
x -9xy + 27x²y² -27y³


(a³+2b²)³
(a³)³ +3(a³)² (2b²) + 3(a³)(2b²)²+(2b²)³
a⁹ + (a⁶) (6b²) + (a³)(12b⁴)+8b⁶
a⁹ + 6ab² + 12a³b⁴+8b⁶


(1-n²)³
(1)³ -3(1)²(n²) + 3(1)(n²)² –(n²)³
1 - (3)(n²) + (3)(n⁴) –n⁶
1 - 3n² + 3n⁴ –n⁶

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